13
Généalogies et coalescence
Mots-clés. Arbre ; branchement ; généalogie ; coalescent de Kingman.
Outils. Loi géométrique ; loi exponentielle ; loi multinomiale ; loi de Poisson ; loi d’Ewens ; processus de Galton-Watson ; modèle de Wright-Fisher.
Difficulté. **
Dans ce chapitre, on étudie la généalogie du processus de Wright-Fisher
du chapitre 12. On la relie notamment au processus des restaurants chinois
du chapitre 14. Cette étude conduit au processus de coalescence de Kingman.
On s’intéresse à l’évolution d’une population de taille finie N constante
au fil des générations. On suppose que les générations ne se chevauchent pas,
et que pour tout n 0, la génération n meurt en donnant naissance à la
génération n + 1. Le mécanisme de transition est markovien : la génération
n+1 dépend de la génération n et d’une source d’aléa indépendante. À chaque
génération, on numérote les individus de 1 à N . Pour tout n 0, soit a
n+1
i
le
numéro du parent de l’individu i de la génération n + 1. Ce parent appartient
à la génération n. On suppose que les v.a. a
n+1
1
, . . . , a
n+1
N
sont i.i.d. de loi
uniforme sur {1, . . . , N}. On note ν
n
i le nombre de descendants à la génération n + 1 de l’individu i vivant à la génération n. Les v.a. (ν
n
i ) 1iN ne sont
pas indépendantes puisqu’elles vérifient la relation ν
n
1 + · · · + ν
n
N = N . On a
ν
n
i =
N
j=1
1 {a
n+1
j
=i} .
Par conséquent, le vecteur aléatoire ν
n = (ν
n
1 , . . . , ν
n
N ) suit la loi multinomiale
de taille N et de paramètre (1/N, . . . , 1/N ), c’est-à-dire
P(ν
n
1 = n 1 , . . . , ν
n
N = n N ) =
N !
n 1 ! . . . n N !
1
N
N
1 {n1+···+n N =N } .
171
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_13
Généalogies et coalescence
Mots-clés. Arbre ; branchement ; généalogie ; coalescent de Kingman.
Outils. Loi géométrique ; loi exponentielle ; loi multinomiale ; loi de Poisson ; loi d’Ewens ; processus de Galton-Watson ; modèle de Wright-Fisher.
Difficulté. **
Dans ce chapitre, on étudie la généalogie du processus de Wright-Fisher
du chapitre 12. On la relie notamment au processus des restaurants chinois
du chapitre 14. Cette étude conduit au processus de coalescence de Kingman.
On s’intéresse à l’évolution d’une population de taille finie N constante
au fil des générations. On suppose que les générations ne se chevauchent pas,
et que pour tout n 0, la génération n meurt en donnant naissance à la
génération n + 1. Le mécanisme de transition est markovien : la génération
n+1 dépend de la génération n et d’une source d’aléa indépendante. À chaque
génération, on numérote les individus de 1 à N . Pour tout n 0, soit a
n+1
i
le
numéro du parent de l’individu i de la génération n + 1. Ce parent appartient
à la génération n. On suppose que les v.a. a
n+1
1
, . . . , a
n+1
N
sont i.i.d. de loi
uniforme sur {1, . . . , N}. On note ν
n
i le nombre de descendants à la génération n + 1 de l’individu i vivant à la génération n. Les v.a. (ν
n
i ) 1iN ne sont
pas indépendantes puisqu’elles vérifient la relation ν
n
1 + · · · + ν
n
N = N . On a
ν
n
i =
N
j=1
1 {a
n+1
j
=i} .
Par conséquent, le vecteur aléatoire ν
n = (ν
n
1 , . . . , ν
n
N ) suit la loi multinomiale
de taille N et de paramètre (1/N, . . . , 1/N ), c’est-à-dire
P(ν
n
1 = n 1 , . . . , ν
n
N = n N ) =
N !
n 1 ! . . . n N !
1
N
N
1 {n1+···+n N =N } .
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_13