12.6 Modèle de Cannings
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Démonstration. Considérons la matrice de Vandermonde
V =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 0 0 0 · · · 0
1 1 1
2 1
3
· · · 1
N
1 2 2
2 2
3
· · · 2
N
1 3 3
2 3
3
· · · 3
N
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
1 N N
2 N
3
· · · N
N
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∈ M N +1,N +1 (R).
Soit P ∈ M N +1,N +1 (R) la matrice de transition du modèle de Cannings.
Pour tous i, j ∈ {0, 1, . . . , N}, on a
(PV ) i,j =
N
k=0
P i,k V k,j =
N
k=0
P i,k k
j = E(X
j
1 | X 0 = i).
Par ailleurs, comme
Loi(X 1 | X 0 = i) = Loi(y 1 + · · · + y i ),
il existe des réels b i,k tels que
E(X
j
1 | X 0 = i) = E((y 1 + . . . + y i )
j ) = i
[j]
E(y 1 y 2 · · · y j ) +
j−1
k=0
b i,k i
k ,
où
i
[j] := i(i − 1)(i − 2) · · · (i − j + 1).
Pour le voir, on peut procéder par récurrence sur j en observant que la loi
Loi(y 1 , . . . , y i | y k ) est échangeable. Il existe donc une matrice triangulaire supérieure T ∈ M N +1,N +1 (R) telle que T 0,0 = 1, T j,j = E(y 1 · · · y j ) pour tout
j ∈ {1, . . . , N}, et pour tous i, j ∈ {0, 1, . . . , N},
E(X
j
1 | X 0 = i) =
j
k=0
T k,j i
k = (V T ) i,j .
On a donc
PV = V T,
et comme V est inversible, les matrices P et T ont même spectre.
On a E(y 1 ) = 1 et donc 1 est valeur propre de multiplicité 2, ce qui
correspond au fait que la chaîne possède deux classes de récurrence {0} et
{N }. La deuxième plus grande valeur propre est
λ 2 = E(y 1 y 2 ) = Cov(y 1 , y 2 ) + E(y 1 )
2 = 1 −
σ
2
N − 1
.