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12 Modèle de Wright-Fisher
Dans le cas à deux allèles, ce mécanisme de transition donne lieu, tout
comme pour le modèle de Wright-Fisher, à une chaîne de Markov (X n ) n0
d’espace d’états {0, 1, . . . , N} donnée pour tout x ∈ {0, 1, . . . , N} par
Loi(X n+1 | X n = x) = Loi(y 1 + · · · + y x ).
Les états 0 et N sont absorbants tandis que tous les autres mènent à {0, N}
et sont donc transitoires. Notons que E(X n+1 | X n = x) = x : (X n ) n0 est
donc une martingale. De plus,
Var(X n+1 | X n = x) = Var(y 1 + · · · + y x )
= xσ
2 + x(x − 1)Cov(y 1 , y 2 )
= xσ
2
−
x(x − 1)σ
2
N − 1
= σ
2 x(N − x)
N − 1
.
Remarque 12.11 (Loi multinomiale). Soit n, d ∈ N
∗ et (p 1 , . . . , p d ) ∈ [0, 1]
d
avec p 1 + · · · + p d = 1. La loi multinomiale de taille n et de paramètre
(p 1 , . . . , p d ) est la loi sur l’ensemble fini
{(n 1 , . . . , n d ) ∈ N
d : n 1 + · · · + n d = n}
donnée par (e 1 , . . . , e d est la base canonique de R
d )
(p 1 δ e1 + · · · + p d δ e d )
∗n =
(n1,...,n d )∈N
d
n1+···+n d =n
n!
n 1 ! · · · n d !
p
n1
1 · · · p
n d
d δ (n1,...,n d ) .
Elle code n lancers d’un dé à d faces avec probabilités d’apparition p 1 , . . . , p d .
Elle est «symétrique» lorsque p 1 = · · · = p d = 1/d. Si (X 1 , . . . , X d ) suit la loi
Mul(n, (p 1 , . . . , p d )) et si I 1 , . . . , I r est une partition de {1, . . . , n} alors
(X I1 , . . . , X Ir ) ∼ Mul(n, (p I1 , . . . , p Ir ))
où
X I :=
i∈I
X i et p I :=
i∈I
p i .
Si I ⊂ {1, . . . , n} alors X I ∼ Bin(n, p I ). Ainsi les lois marginales d’une loi
multinomiale sont binomiales. On identifie la loi Bin(n, p) à Mul(n, (p, 1−p)).
Si (X 1 , . . . , X d ) ∼ Mul(n, (p 1 , . . . , p d )) alors X d = n − X {1,...,d−1} .
Théorème 12.12 (Spectre de la matrice de transition). Les valeurs propres
de la matrice de transition du modèle de Cannings sont données par
λ 0 = 1 et λ j = E(y 1 y 2 · · · y j ) pour 1 j N.
En particulier, pour le modèle de Wright-Fisher, λ 0 = 1 et, pour 1 j N ,
λ j =
N (N − 1) · · · (N − j + 1)
N j
=
𨐽
1 −
1
N
· · ·
1 −
j − 1
N
.
12 Modèle de Wright-Fisher
Dans le cas à deux allèles, ce mécanisme de transition donne lieu, tout
comme pour le modèle de Wright-Fisher, à une chaîne de Markov (X n ) n0
d’espace d’états {0, 1, . . . , N} donnée pour tout x ∈ {0, 1, . . . , N} par
Loi(X n+1 | X n = x) = Loi(y 1 + · · · + y x ).
Les états 0 et N sont absorbants tandis que tous les autres mènent à {0, N}
et sont donc transitoires. Notons que E(X n+1 | X n = x) = x : (X n ) n0 est
donc une martingale. De plus,
Var(X n+1 | X n = x) = Var(y 1 + · · · + y x )
= xσ
2 + x(x − 1)Cov(y 1 , y 2 )
= xσ
2
−
x(x − 1)σ
2
N − 1
= σ
2 x(N − x)
N − 1
.
Remarque 12.11 (Loi multinomiale). Soit n, d ∈ N
∗ et (p 1 , . . . , p d ) ∈ [0, 1]
d
avec p 1 + · · · + p d = 1. La loi multinomiale de taille n et de paramètre
(p 1 , . . . , p d ) est la loi sur l’ensemble fini
{(n 1 , . . . , n d ) ∈ N
d : n 1 + · · · + n d = n}
donnée par (e 1 , . . . , e d est la base canonique de R
d )
(p 1 δ e1 + · · · + p d δ e d )
∗n =
(n1,...,n d )∈N
d
n1+···+n d =n
n!
n 1 ! · · · n d !
p
n1
1 · · · p
n d
d δ (n1,...,n d ) .
Elle code n lancers d’un dé à d faces avec probabilités d’apparition p 1 , . . . , p d .
Elle est «symétrique» lorsque p 1 = · · · = p d = 1/d. Si (X 1 , . . . , X d ) suit la loi
Mul(n, (p 1 , . . . , p d )) et si I 1 , . . . , I r est une partition de {1, . . . , n} alors
(X I1 , . . . , X Ir ) ∼ Mul(n, (p I1 , . . . , p Ir ))
où
X I :=
i∈I
X i et p I :=
i∈I
p i .
Si I ⊂ {1, . . . , n} alors X I ∼ Bin(n, p I ). Ainsi les lois marginales d’une loi
multinomiale sont binomiales. On identifie la loi Bin(n, p) à Mul(n, (p, 1−p)).
Si (X 1 , . . . , X d ) ∼ Mul(n, (p 1 , . . . , p d )) alors X d = n − X {1,...,d−1} .
Théorème 12.12 (Spectre de la matrice de transition). Les valeurs propres
de la matrice de transition du modèle de Cannings sont données par
λ 0 = 1 et λ j = E(y 1 y 2 · · · y j ) pour 1 j N.
En particulier, pour le modèle de Wright-Fisher, λ 0 = 1 et, pour 1 j N ,
λ j =
N (N − 1) · · · (N − j + 1)
N j
=
𨐽
1 −
1
N
· · ·
1 −
j − 1
N
.