166
12 Modèle de Wright-Fisher
Fig. 12.2. Loi invariante et histogramme d’un échantillon de taille 10000 de X100
avec X0 = 50, pour une population de taille N = 100, avec taux de mutation
u = v = 0.05.
12.5 Modèle de Wright-Fisher avec sélection
Sur le plan biologique, il est possible que les allèles A et B ne procurent
pas à l’individu qui en est doté des capacités identiques : viabilité, potentiel
attractif, etc. Cette asymétrie est responsable de la sélection naturelle. Considérons pour simplifier le modèle sans mutation. Il est possible de prendre en
compte un avantage sélectif de l’allèle A en effectuant la transformation suivante de la génération n avant la fabrication de la génération n + 1 : chaque
individu de type A est remplacé par (1 + s) individus de type A, où s > 0 est
un paramètre fixé (penser à une urne). Cela revient à prendre
Loi(X n+1 | X 0 , . . . , X n ) = Loi(X n+1 | X n ) = Bin(N, ψ Xn )
avec cette fois-ci
ψ x =
x(1 + s)
x(1 + s) + N − x
.
Le processus (X n ) n0 est une chaîne de Markov. Son espérance ne vérifie pas
une équation de récurrence linéaire car ψ x n’est pas linéaire en x (contrairement au cas sans sélection s = 0). Les états 0 et N sont absorbants, tandis
que {1, . . . , N − 1} est une classe transitoire. Comme ψ x n’est plus linéaire en
x, on ne peut plus calculer la probabilité de fixation avec la méthode utilisée
dans le cas sans sélection (s = 0). Soit P la matrice de transition de X, et
π(x) := P x (X T = N )