12.3 Modèle de Wright-Fisher et fixation
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0
50
100
150
200
0
20
40
60
80
100
Temps
Taille population
Fisher-Wright taille N=100 init X0=25 tmax = 200
Fig. 12.1. Quelques trajectoires, jusqu’au temps t = 200, de la chaîne de WrightFisher pour une population de taille N = 100, toutes issues de X0 = N/4 = 25.
Remarque 12.7 (Couplage avec un jeu de pile ou face). Il est possible d’obtenir une minoration de T par une variable aléatoire géométrique par couplage.
On commence par observer que pour tout x et tout n on a
P(X n+1 ∈ {0, N} | X n = x) = P(x, {0, N}) p ∗
où
p ∗ = min
0xN
P(x, {0, N}) = min
0xN
(1 − ψ x )
N + ψ
N
x 2
−N +1
où le minimum est atteint en ψ x = 1/2. Ainsi, la chaîne atteint un état
absorbant 0 ou N avant qu’un lanceur de pièce n’obtienne son premier pile
avec une pièce qui fait pile avec probabilité 2
−N +1 . Pour rendre rigoureux ce
raisonnement, on construit le couple de processus (jeu de pile ou face et chaîne
de Wright-Fisher) sur le même espace de probabilité. Représentons la chaîne
de Markov comme une suite récurrente aléatoire : pour tout x ∈ {0, . . . , N},
soit (I x,y ) 0yN une partition de l’intervalle [0, 1], avec I x,y de longueur
|I x,y | = P(x, y),
et soit (U n ) n1 une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi uniforme sur [0, 1],
indépendante de X 0 . On réalise (X n ) n0 en utilisant la récurrence
X n+1 := y où y = y(X n , U n+1 ) est tel que U n+1 ∈ I Xn,y .
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Taille population
Fisher-Wright taille N=100 init X0=25 tmax = 200
Fig. 12.1. Quelques trajectoires, jusqu’au temps t = 200, de la chaîne de WrightFisher pour une population de taille N = 100, toutes issues de X0 = N/4 = 25.
Remarque 12.7 (Couplage avec un jeu de pile ou face). Il est possible d’obtenir une minoration de T par une variable aléatoire géométrique par couplage.
On commence par observer que pour tout x et tout n on a
P(X n+1 ∈ {0, N} | X n = x) = P(x, {0, N}) p ∗
où
p ∗ = min
0xN
P(x, {0, N}) = min
0xN
(1 − ψ x )
N + ψ
N
x 2
−N +1
où le minimum est atteint en ψ x = 1/2. Ainsi, la chaîne atteint un état
absorbant 0 ou N avant qu’un lanceur de pièce n’obtienne son premier pile
avec une pièce qui fait pile avec probabilité 2
−N +1 . Pour rendre rigoureux ce
raisonnement, on construit le couple de processus (jeu de pile ou face et chaîne
de Wright-Fisher) sur le même espace de probabilité. Représentons la chaîne
de Markov comme une suite récurrente aléatoire : pour tout x ∈ {0, . . . , N},
soit (I x,y ) 0yN une partition de l’intervalle [0, 1], avec I x,y de longueur
|I x,y | = P(x, y),
et soit (U n ) n1 une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi uniforme sur [0, 1],
indépendante de X 0 . On réalise (X n ) n0 en utilisant la récurrence
X n+1 := y où y = y(X n , U n+1 ) est tel que U n+1 ∈ I Xn,y .