12
Modèle de Wright-Fisher
Mots-clés. Dynamique de population ; génétique des population.
Outils. Chaîne de Markov ; martingale ; théorème d’arrêt ; décomposition
spectrale.
Difficulté. **
Ce chapitre est consacré à des modèles d’évolution de génotypes au fil des
générations dans une population de taille constante. Le point de départ est
la loi de Hardy-Weinberg liée à la théorie de Mendel en population infinie.
Nous présentons ensuite quelques modèles classiques en population finie : le
modèle de Moran puis les modèles de Wright-Fisher. La dernière section est
consacrée au modèle de Cannings qui est une généralisation des précédents.
12.1 Loi de Hardy-Weinberg
La théorie de Mendel assure la préservation de la variabilité des génotypes.
Théorème 12.1 (Loi de Hardy-Weinberg pour la théorie de Mendel). Considérons les fréquences alléliques dans une population pour un gène pouvant
s’exprimer sous la forme de deux allèles A et B dans une population hermaphrodite
1 diploïde
2 idéale :
1. les générations sont séparées (elles ne coexistent pas) ;
2. la population est de taille infinie ;
3. les individus s’y unissent aléatoirement (pas de choix du conjoint) ;
4. il n’y a pas de migration, pas de mutation, pas de sélection.
1. Hermaphrodite : chaque individu peut être mâle ou femelle (bisexualité).
2. Diploïde : qui possède un double assortiment de chromosomes semblables.
155
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_12
Modèle de Wright-Fisher
Mots-clés. Dynamique de population ; génétique des population.
Outils. Chaîne de Markov ; martingale ; théorème d’arrêt ; décomposition
spectrale.
Difficulté. **
Ce chapitre est consacré à des modèles d’évolution de génotypes au fil des
générations dans une population de taille constante. Le point de départ est
la loi de Hardy-Weinberg liée à la théorie de Mendel en population infinie.
Nous présentons ensuite quelques modèles classiques en population finie : le
modèle de Moran puis les modèles de Wright-Fisher. La dernière section est
consacrée au modèle de Cannings qui est une généralisation des précédents.
12.1 Loi de Hardy-Weinberg
La théorie de Mendel assure la préservation de la variabilité des génotypes.
Théorème 12.1 (Loi de Hardy-Weinberg pour la théorie de Mendel). Considérons les fréquences alléliques dans une population pour un gène pouvant
s’exprimer sous la forme de deux allèles A et B dans une population hermaphrodite
1 diploïde
2 idéale :
1. les générations sont séparées (elles ne coexistent pas) ;
2. la population est de taille infinie ;
3. les individus s’y unissent aléatoirement (pas de choix du conjoint) ;
4. il n’y a pas de migration, pas de mutation, pas de sélection.
1. Hermaphrodite : chaque individu peut être mâle ou femelle (bisexualité).
2. Diploïde : qui possède un double assortiment de chromosomes semblables.
155
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_12