11.5 Pour aller plus loin
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11.5 Pour aller plus loin
Les résultats classiques concernant les lois exponentielles sont disponibles
par exemple dans le livre de James Norris [Nor98a]. Dans le livre de Geoffrey
Grimmett et David Stirzaker [GS01], une version à temps discret du processus X est étudiée. Pour l’anecdote, elle peut modéliser par exemple le nombre
de coquilles présentes dans un manuscrit après n relectures : à chaque relecture, l’auteur corrige chaque coquille avec probabilité p, indépendamment des
autres, et en ajoute par mégarde un nombre aléatoire de loi de Poisson (loi
des événements rares ou loi des petits nombres).
Convenablement renormalisé, le processus à espace d’états discret converge
vers le processus d’Ornstein-Uhlenbeck étudié dans le chapitre 25. On renvoie
à ce sujet par exemple au livre de Philippe Robert [Rob00]. Ce livre propose
plus généralement une étude accessible et assez générale des files d’attentes,
au moyen de la théorie des martingales et des processus ponctuels. On peut
également consulter le livre de François Baccelli et Pierre Brémaud [BB03].
On peut établir de nombreux autres résultats pour le processus X. On trouvera par exemple dans [Cha06] des inégalités fonctionnelles liées au comportement en temps long. La relation de commutation du théorème 11.17 est une
propriété remarquable du semi-groupe. Le processus d’Ornstein-Uhlenbeck satisfait la même relation en remplaçant le gradient discret D par un gradient
usuel sur R, et cette liaison est une instance d’un phénomène plus général
qui fait l’objet du chapitre 27. On peut obtenir des versions un peu plus
faibles pour des processus plus généraux qui fournissent des estimations pour
la convergence vers la loi invariante, voir par exemple l’article de Pietro Caputo, Paolo Dai Pra, et Gustavo Posta [CDPP09].
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Les résultats classiques concernant les lois exponentielles sont disponibles
par exemple dans le livre de James Norris [Nor98a]. Dans le livre de Geoffrey
Grimmett et David Stirzaker [GS01], une version à temps discret du processus X est étudiée. Pour l’anecdote, elle peut modéliser par exemple le nombre
de coquilles présentes dans un manuscrit après n relectures : à chaque relecture, l’auteur corrige chaque coquille avec probabilité p, indépendamment des
autres, et en ajoute par mégarde un nombre aléatoire de loi de Poisson (loi
des événements rares ou loi des petits nombres).
Convenablement renormalisé, le processus à espace d’états discret converge
vers le processus d’Ornstein-Uhlenbeck étudié dans le chapitre 25. On renvoie
à ce sujet par exemple au livre de Philippe Robert [Rob00]. Ce livre propose
plus généralement une étude accessible et assez générale des files d’attentes,
au moyen de la théorie des martingales et des processus ponctuels. On peut
également consulter le livre de François Baccelli et Pierre Brémaud [BB03].
On peut établir de nombreux autres résultats pour le processus X. On trouvera par exemple dans [Cha06] des inégalités fonctionnelles liées au comportement en temps long. La relation de commutation du théorème 11.17 est une
propriété remarquable du semi-groupe. Le processus d’Ornstein-Uhlenbeck satisfait la même relation en remplaçant le gradient discret D par un gradient
usuel sur R, et cette liaison est une instance d’un phénomène plus général
qui fait l’objet du chapitre 27. On peut obtenir des versions un peu plus
faibles pour des processus plus généraux qui fournissent des estimations pour
la convergence vers la loi invariante, voir par exemple l’article de Pietro Caputo, Paolo Dai Pra, et Gustavo Posta [CDPP09].