152
11 File d’attente M/M/Infini
Remarque 11.18 (Files d’attente, naissance et mort). La figure 11.1 compare
les trajectoires des files M/M/1 et M/M/∞. Ces files d’attente font partie des
processus de vie et de mort
4 , qui sont les processus de Markov à temps continu
et d’espace d’états N à transitions aux plus proches voisins. Leur générateur
infinitésimal a la forme suivante (avec la convention μ 0 = 0) :
Lf (n) = λ n (f (n + 1) − f (n)) + μ n (f (n − 1) − f (n)).
Le cas M/M/1 correspond à n ∈ N → λ n et n ∈ N
∗
→ μ n constantes, tandis
que le cas M/M/∞ correspond à n ∈ N → λ n constante et μ n = nμ pour tout
n ∈ N. Le cas où n → λ n est linéaire et μ ≡ 0 correspond au processus de
Yule (processus de Galton-Watson à temps continu de loi de reproduction δ 2 ).
0
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
0
20
40
60
80
100
Trajectoires M/M/1 et M/M/infini de mˆ“me moyenne
Fig. 11.1. Un début de trajectoire de file d’attente M/M/1 de paramètres 1 et
3, et de file d’attente M/M/∞ de paramètres 1 et .5. Les deux trajectoires sont
issues de 100. Le premier processus a pour loi invariante la loi géométrique sur N de
paramètre 1/3, et le second la loi de Poisson de paramètre 1/.5 = 2. Dans les deux
cas, la loi invariante a pour moyenne 2. La première trajectoire à un comportement
linéaire et la seconde un comportement exponentiel.
4. On dit aussi «de naissance et de mort», «Birth and death» en anglais.
11 File d’attente M/M/Infini
Remarque 11.18 (Files d’attente, naissance et mort). La figure 11.1 compare
les trajectoires des files M/M/1 et M/M/∞. Ces files d’attente font partie des
processus de vie et de mort
4 , qui sont les processus de Markov à temps continu
et d’espace d’états N à transitions aux plus proches voisins. Leur générateur
infinitésimal a la forme suivante (avec la convention μ 0 = 0) :
Lf (n) = λ n (f (n + 1) − f (n)) + μ n (f (n − 1) − f (n)).
Le cas M/M/1 correspond à n ∈ N → λ n et n ∈ N
∗
→ μ n constantes, tandis
que le cas M/M/∞ correspond à n ∈ N → λ n constante et μ n = nμ pour tout
n ∈ N. Le cas où n → λ n est linéaire et μ ≡ 0 correspond au processus de
Yule (processus de Galton-Watson à temps continu de loi de reproduction δ 2 ).
0
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
6 0
0
20
40
60
80
100
Trajectoires M/M/1 et M/M/infini de mˆ“me moyenne
Fig. 11.1. Un début de trajectoire de file d’attente M/M/1 de paramètres 1 et
3, et de file d’attente M/M/∞ de paramètres 1 et .5. Les deux trajectoires sont
issues de 100. Le premier processus a pour loi invariante la loi géométrique sur N de
paramètre 1/3, et le second la loi de Poisson de paramètre 1/.5 = 2. Dans les deux
cas, la loi invariante a pour moyenne 2. La première trajectoire à un comportement
linéaire et la seconde un comportement exponentiel.
4. On dit aussi «de naissance et de mort», «Birth and death» en anglais.