11.4 Comportement en temps long
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Corollaire 11.15 (Convergence à l’équilibre). Si ν ∈ P 1 (N) alors
W 1 (νP t , π) e
−μt W 1 (ν, π).
Remarque 11.16 (Optimalité de la vitesse de convergence). La constante
μ dans la convergence à l’équilibre à vitesse exponentielle e
−μt est optimale.
En effet, supposons que la convergence à l’équilibre ait lieu avec une constante
μ
> μ. Alors, en prenant pour loi initiale ν = δ n avec n supérieur à la
moyenne ρ de la loi invariante π, et en notant X une v.a. de loi π, on aurait
(n − ρ)e
−μt = E n (X t ) − ρ W 1 (δ n P t , π) e
−μ
t W 1 (ν, π) = E|n − X|e
−μ
t ,
ce qui conduit à une contradiction car n − ρ > 0 et e
−μ
t /e
−μt
−→
t→∞
0.
Dans la même veine, on peut montrer que la fonction P t f converge vers
la fonction constante égale à l’intégrale de f pour π en montrant que son
gradient (discret) converge vers 0.
Théorème 11.17 (Commutation). Si f : N → R alors pour tout t 0,
DP t f (n) = e
−μt P t (Df )(n),
où Dg est la fonction définie sur N par Dg(n) = g(n + 1) − g(n).
Démonstration. D’après le théorème 11.8,
P t f (n + 1) = Ef (Z 1 + · · · + Z n+1 + Y ),
où Z 1 , . . . , Z n+1 sont des variables aléatoires indépendantes de loi Ber(e
−μt )
et indépendantes de Y de loi de Poisson de paramètre ρ(1 − e
−μt ). On a donc
P t f (n + 1) = E(f (Z 1 + · · · + Z n+1 + Y ))
= e
−μt
E(f (Z 1 + · · · + Z n + 1 + Y ))
+ (1 − e
−μt )E(f (Z 1 + · · · + Z n + Y ))
= e
−μt P t (Df )(n) + P t f (n),
ce qui fournit le résultat.
Si f est une fonction 1-lipschitzienne, au sens où |Df (n)| 1 pour tout
n ∈ N alors le théorème précédent assure que P t f est une fonction e
−μt -
lipschitzienne. On retrouve ainsi la convergence pour la distance de Wasserstein par la formulation duale de cette distance, de Kantorovitch-Rubinstein
W 1 (ν, ˜
ν) = sup
f dν −
f d˜ ν : f 1-lipschitzienne
.