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11 File d’attente M/M/Infini
Comme pour tous les processus de naissance et mort, la loi invariante π, si
elle existe, est de plus réversible pour L (ou P t ), c’est-à-dire que L et P t sont
auto-adjoints dans L
2 (π). Enfin, pour toute loi initiale (de X 0 ),
X t
loi
−→
t→∞
π.
On souhaite ici quantifier cette convergence en loi.
Soit P 1 (N) l’ensemble des mesures de probabilité ν sur N possédant
un moment d’ordre 1, c’est-à-dire l’ensemble des ν : N → [0, 1] vérifiant
x∈N ν(x) = 1 et
x∈N xν(x) < ∞. La distance de Wasserstein sur P 1 (N)
est définie pour tous ν, ˜
ν ∈ P 1 (N) par la formule variationnelle de couplage
W 1 (ν, ˜
ν) := inf
E|X − ˜
X| : X ∼ ν, ˜
X ∼ ˜
ν
.
Relions cette distance à la distance en variation totale introduite dans le
chapitre 1. Pour des v.a. entières, X = ˜
X implique |X − ˜
X| 1. On a donc
d VT (ν, ˜
ν) W 1 (ν, ˜
ν).
Théorème 11.14 (Contraction de Wasserstein). Si ν, ˜
ν ∈ P 1 (N) alors
W 1 (νP t , ˜
νP t ) e
−μt W 1 (ν, ˜
ν),
où, pour tout η ∈ P(N), ηP t est la loi de X t si X 0 suit la loi η.
Démonstration. On procède par couplage. Supposons dans un premier temps
que ν = δ m et ˜
ν = δ n avec m < n. Soit X t de loi δ m P t et B t de
loi Bin(n − m, e
−μt ) indépendante de X t . D’après le théorème 11.8, la variable aléatoire ˜
X t = X t + B t suit la loi δ n P t . On a donc
E|X t − ˜
X t | = E(B t ) = (n − m)e
−μt .
Comme (X t , ˜
X t ) est un couplage de (δ m P t , δ n P t ), on a
W 1 (δ m P t , δ n P t ) e
−μt (n − m) = e
−μt W 1 (δ m , δ n ).
Concluons à présent dans le cas général. Soit ν et ˜
ν dans P 1 (N). Soit (X 0 , ˜
X 0 )
un couplage de ν et ˜
ν. Comme ci-dessus, on construit (X t ) et ( ˜
X t ) tels que
Loi(|X t − ˜
X t ||X 0 , ˜
X 0 ) = Bin(|X 0 − ˜
X 0 |, e
−μt ).
On en déduit donc
W 1 (νP t , ˜
νP t ) e
−μt
E|X 0 − ˜
X 0 |.
L’infimum sur tous les couplages de X 0 et ˜
X 0 donne la propriété attendue.
Ce résultat de contraction fournit une estimation pour la convergence, au
sens de la distance de Wasserstein, de la loi de X t vers la loi invariante π de
X. La vitesse de convergence obtenue ne dépend pas du taux de naissance λ !
11 File d’attente M/M/Infini
Comme pour tous les processus de naissance et mort, la loi invariante π, si
elle existe, est de plus réversible pour L (ou P t ), c’est-à-dire que L et P t sont
auto-adjoints dans L
2 (π). Enfin, pour toute loi initiale (de X 0 ),
X t
loi
−→
t→∞
π.
On souhaite ici quantifier cette convergence en loi.
Soit P 1 (N) l’ensemble des mesures de probabilité ν sur N possédant
un moment d’ordre 1, c’est-à-dire l’ensemble des ν : N → [0, 1] vérifiant
x∈N ν(x) = 1 et
x∈N xν(x) < ∞. La distance de Wasserstein sur P 1 (N)
est définie pour tous ν, ˜
ν ∈ P 1 (N) par la formule variationnelle de couplage
W 1 (ν, ˜
ν) := inf
E|X − ˜
X| : X ∼ ν, ˜
X ∼ ˜
ν
.
Relions cette distance à la distance en variation totale introduite dans le
chapitre 1. Pour des v.a. entières, X = ˜
X implique |X − ˜
X| 1. On a donc
d VT (ν, ˜
ν) W 1 (ν, ˜
ν).
Théorème 11.14 (Contraction de Wasserstein). Si ν, ˜
ν ∈ P 1 (N) alors
W 1 (νP t , ˜
νP t ) e
−μt W 1 (ν, ˜
ν),
où, pour tout η ∈ P(N), ηP t est la loi de X t si X 0 suit la loi η.
Démonstration. On procède par couplage. Supposons dans un premier temps
que ν = δ m et ˜
ν = δ n avec m < n. Soit X t de loi δ m P t et B t de
loi Bin(n − m, e
−μt ) indépendante de X t . D’après le théorème 11.8, la variable aléatoire ˜
X t = X t + B t suit la loi δ n P t . On a donc
E|X t − ˜
X t | = E(B t ) = (n − m)e
−μt .
Comme (X t , ˜
X t ) est un couplage de (δ m P t , δ n P t ), on a
W 1 (δ m P t , δ n P t ) e
−μt (n − m) = e
−μt W 1 (δ m , δ n ).
Concluons à présent dans le cas général. Soit ν et ˜
ν dans P 1 (N). Soit (X 0 , ˜
X 0 )
un couplage de ν et ˜
ν. Comme ci-dessus, on construit (X t ) et ( ˜
X t ) tels que
Loi(|X t − ˜
X t ||X 0 , ˜
X 0 ) = Bin(|X 0 − ˜
X 0 |, e
−μt ).
On en déduit donc
W 1 (νP t , ˜
νP t ) e
−μt
E|X 0 − ˜
X 0 |.
L’infimum sur tous les couplages de X 0 et ˜
X 0 donne la propriété attendue.
Ce résultat de contraction fournit une estimation pour la convergence, au
sens de la distance de Wasserstein, de la loi de X t vers la loi invariante π de
X. La vitesse de convergence obtenue ne dépend pas du taux de naissance λ !