11.4 Comportement en temps long
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4. Équation de Chapman-Kolmogorov : pour toute fonction f ,
∂ t P t f = LP t f = P t Lf ;
où L est appelé générateur infinitésimal de X et est défini par
Lf (n) := λ(f (n + 1) − f (n)) + nμ(f (n − 1) − f (n)).
En fait, formellement, tout se passe comme si P t = e
tL . Les deux premiers
points sont évidents. Le troisième découle de la formule explicite de P t . C’est
une reformulation de la propriété de Markov. La dernière assertion s’obtient
grâce à 3. et un raisonnement analogue à celui de la preuve du théorème 11.10.
Remarque 11.13 (Lire la dynamique dans le générateur infinitésimal). Si
on définit le noyau de transition
Q(n, ·) :=
λ
λ + nμ
δ n+1 +
nμ
λ + nμ
δ n−1
et la «temporisation» D(n) := λ + nμ alors le générateur infinitésimal s’écrit
Lf (n) = D(n)
(f (m) − f (n)) Q(n, dm).
On lit dans le générateur infinitésimal un algorithme de simulation des trajectoires du processus : sachant qu’il est en n, le processus X saute au bout d’un
temps exponentiel de paramètre D(n) vers n + 1 avec probabilité λ/(λ + nμ)
et vers n − 1 avec probabilité nμ/(λ + nμ). On trouvera par exemple dans le
chapitre 9 page 120 un autre exemple de ce type. Notons qu’on peut voir L
comme une matrice avec une infinité de lignes et une infinité de colonnes, en
posant L(n, m) := L1 n (m) de sorte que Lf (n) =
m∈N L(n, m)f (m).
On peut associer à tout processus de Markov raisonnable son semi-groupe
et son générateur infinitésimal. Si ce dernier est souvent explicite, il est rare
que ce soit le cas pour les mesures P t (·)(x). En ce sens, le processus étudié
dans ce chapitre est assez remarquable.
11.4 Comportement en temps long
On adopte les notations suivantes :
ρ :=
λ
μ
et π := Poi(ρ).
Si X 0 ∼ π, alors le théorème 11.8 assure que X t ∼ π pour tout t 0. Ainsi
la loi π est invariante sous l’action de P t . De manière équivalente, πL = 0.