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11 File d’attente M/M/Infini
=
∞
n=0
(−(λ + nμ)p n (t) + λp n−1 (t) + (n + 1)μp n+1 (t))s
n
= −λ(1 − s)
∞
n=0
p n (t)s
n + μ(1 − s)
∞
n=0
np n (t)s
n−1 .
La fonction G est donc solution de l’équation aux dérivées partielles suivante :
∂ t G(s, t) = (1 − s)[μ∂ s G(s, t) − λG(s, t)].
On pose H = log(G) puis on effectue ensuite le changement de variables
(s, τ ) = (s, (1 − s)e
−μt ). En notant J la fonction telle que H(s, t) = J(s, τ ),
la fonction J s’écrit sous la forme
J(s, τ ) =
λ
μ
s + h(τ ),
où h reste à déterminer. Ceci revient à dire que H est de la forme
H(s, t) =
λ
μ
s + h((1 − s)e
−μt ).
On conclut en remarquant que la fonction h est caractérisée par le fait que
H(s, 0) est égal à log(G 0 (s)) pour tout s ∈ [−1, 1].
Le processus (X t ) t0 est une chaîne de Markov à temps continu. Le semigroupe markovien associé est la famille d’opérateurs (P t ) t0 définie comme
suit : pour tous t 0 et f : N → R, P t f est la fonction N → R donnée par
P t f (n) := E(f (X t ) | X 0 = n).
Si ν est une mesure de probabilité sur N
νP t la loi de X t sachant
que X 0 suit la loi ν. On a, pour toute fonction f bornée,
νP t f =
n∈N
ν(n)P t f (n).
D’après le théorème 11.8, la mesure de probabilité P t (·)(n) est la loi
Bin(n, e
−μt ) ∗ Poi
λ
μ
(1 − e
−μt )
.
Remarque 11.12 (Propriétés fondamentales du semi-groupe markovien). Le
semi-groupe (P t ) t0 vérifie les propriétés fondamentales suivantes :
1. Élément neutre : P 0 = I c’est-à-dire que P 0 f = f pour tout f ;
2. Positivité et normalisation : si f 0 alors P t f 0, et P t 1 = 1 ;
3. Propriété de semi-groupe : pour toute fonction f et tous s, t 0,
P t+s f = (P t ◦ P s )f ;
on notera
,