11.3 Loi du nombre de clients
147
Il s’avère que le théorème 11.8 peut également être obtenu en utilisant
les équations de Chapman-Kolmogorov. Cette approche reste valable pour les
chaînes de Markov à temps continu, bien au-delà du cas particulier étudié.
Théorème 11.10 (Équations de Chapman-Kolmogorov). Pour tous t ∈ R +
et n ∈ N, soit p n (t) := P(X t = n). Les fonctions (p n ) n∈N sont de classe C
1
et vérifient le système infini d’équations différentielles linéaires suivant :
∀n ∈ N, p
n (t) = −(λ + nμ)p n (t) + λp n−1 (t) + (n + 1)μp n+1 (t),
avec p −1 (t) := 0 pour tout t 훁 0, la loi initiale (p n (0)) n∈N étant donnée.
Démonstration. Pour calculer p n (t + h), on remarque que si X t+h = n alors
l’une des conditions incompatibles suivantes est réalisée :
1. X u = n pour tout u ∈ [t, t + h] ;
2. X t = n − 1 et une seule transition a lieu (n − 1 → n) dans l’intervalle
de temps [t, t + h] ;
3. X t = n + 1 et une seule transition a lieu (n + 1 → n) dans l’intervalle
de temps [t, t + h] ;
4. dans l’intervalle de temps [t, t + h], au moins deux transitions ont lieu.
D’après les lemmes 11.1 et 11.2, le processus reste dans l’état n un temps
aléatoire de loi exponentielle de paramètre λ + nμ puis saute de n à n − 1 ou
n+1 avec probabilités respectives nμ/(λ+nμ) et λ/(λ+nμ). En conditionnant
par l’évènement {X t = n}, on en déduit l’égalité
p n (t + h) = p n (t){1 − λh − nμh} + λhp n−1 (t) + (n + 1)μhp n+1 (t) + o(h).
Le résultat désiré s’obtient en faisant tendre h vers 0.
Le corollaire ci-dessous du théorème 11.10 affirme que la fonction génératrice de X t est solution d’une équation aux dérivées partielles. Il fournit donc
une nouvelle preuve du théorème 11.8, analytique, basée sur les fonctions génératrices (ou transformée de Laplace). Pour tous t ∈ R + et s ∈ [−1, 1], soit
G(s, t) := E
s
Xt
=
∞
n=0
p n (t)s
n .
Corollaire 11.11 (Fonction génératrice de X t ). Si G 0 est la fonction génératrice de X 0 alors, pour tout t 0 et tout s ∈ [−1, 1],
G(s, t) = G 0 (1 − e
−μt + se
−μt ) exp
λ
μ
(1 − e
−μt )(s − 1)
.
Démonstration. Par les équations de Chapman-Kolmogorov (théorème 11.10),
∂ t G(s, t) =
∞
n=0
p
n (t)s
n
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Il s’avère que le théorème 11.8 peut également être obtenu en utilisant
les équations de Chapman-Kolmogorov. Cette approche reste valable pour les
chaînes de Markov à temps continu, bien au-delà du cas particulier étudié.
Théorème 11.10 (Équations de Chapman-Kolmogorov). Pour tous t ∈ R +
et n ∈ N, soit p n (t) := P(X t = n). Les fonctions (p n ) n∈N sont de classe C
1
et vérifient le système infini d’équations différentielles linéaires suivant :
∀n ∈ N, p
n (t) = −(λ + nμ)p n (t) + λp n−1 (t) + (n + 1)μp n+1 (t),
avec p −1 (t) := 0 pour tout t 훁 0, la loi initiale (p n (0)) n∈N étant donnée.
Démonstration. Pour calculer p n (t + h), on remarque que si X t+h = n alors
l’une des conditions incompatibles suivantes est réalisée :
1. X u = n pour tout u ∈ [t, t + h] ;
2. X t = n − 1 et une seule transition a lieu (n − 1 → n) dans l’intervalle
de temps [t, t + h] ;
3. X t = n + 1 et une seule transition a lieu (n + 1 → n) dans l’intervalle
de temps [t, t + h] ;
4. dans l’intervalle de temps [t, t + h], au moins deux transitions ont lieu.
D’après les lemmes 11.1 et 11.2, le processus reste dans l’état n un temps
aléatoire de loi exponentielle de paramètre λ + nμ puis saute de n à n − 1 ou
n+1 avec probabilités respectives nμ/(λ+nμ) et λ/(λ+nμ). En conditionnant
par l’évènement {X t = n}, on en déduit l’égalité
p n (t + h) = p n (t){1 − λh − nμh} + λhp n−1 (t) + (n + 1)μhp n+1 (t) + o(h).
Le résultat désiré s’obtient en faisant tendre h vers 0.
Le corollaire ci-dessous du théorème 11.10 affirme que la fonction génératrice de X t est solution d’une équation aux dérivées partielles. Il fournit donc
une nouvelle preuve du théorème 11.8, analytique, basée sur les fonctions génératrices (ou transformée de Laplace). Pour tous t ∈ R + et s ∈ [−1, 1], soit
G(s, t) := E
s
Xt
=
∞
n=0
p n (t)s
n .
Corollaire 11.11 (Fonction génératrice de X t ). Si G 0 est la fonction génératrice de X 0 alors, pour tout t 0 et tout s ∈ [−1, 1],
G(s, t) = G 0 (1 − e
−μt + se
−μt ) exp
λ
μ
(1 − e
−μt )(s − 1)
.
Démonstration. Par les équations de Chapman-Kolmogorov (théorème 11.10),
∂ t G(s, t) =
∞
n=0
p
n (t)s
n