11.3 Loi du nombre de clients
145
avec un moment d’ordre suffisamment élevé pour assurer la convergence. Le
moment d’ordre 4 se contrôle comme suit :
E
(T M − E(T M ))
4
=
M
n=1
E
(τ n − E(τ n ))
4
+ 6
1m =nM
E
(τ n − E(τ n ))
2
E
(τ m − E(τ m ))
2
=
E
(E − 1)
4
μ 4
N
n=M +1
1
n 4
+ 6
E
(E − 1)
2
2
μ 4
1+M m =nN
1
n 2
1
m 2
=
9
μ 4
N
n=M +1
1
n 4 +
6
μ 4
N
n=M +1
1
n 2
2
,
puisque E((E − 1)
2 ) = 1 et E((E − 1)
4 ) = 9. Ainsi
E
(T M − E(T M ))
4
= O
N
−2
.
L’inégalité de Markov assure alors que, pour tout r 0,
P(|T M − E(T M )| 𨐾 r) 𨐾
C
r 4 N 2 .
Le lemme de Borel-Cantelli donne enfin T M
p.s.
−→
N →∞
log(2)/μ.
Remarque 11.7 (Demi-vie et radioactivé). La durée de vie des atomes de
Carbone 14 est bien modélisée par une variable aléatoire de loi exponentielle
de demi-vie 5734 ans. Ceci permet aux archéologues de dater les échantillons
de matière organique.
11.3 Loi du nombre de clients
Cette section est dédiée au calcul de la loi de X t . Ce calcul est mené avec
deux méthodes différentes.
Théorème 11.8 (Loi de X t ). Pour tout k ∈ N et tout t 0,
Loi(X t | X 0 = k) = Bin(k, e
−μt ) ∗ Poi
λ
μ
1 − e
−μt
avec la convention Bin(0, p) = δ 0 . De plus, si X 0 ∼ Poi(α) alors
X t ∼ Poi
𨐽
λ
μ
1 − e
−μt
+ αe
−μt
.