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11 File d’attente M/M/Infini
11.2 Temps de demi-vie des clients initiaux
Si μ = 0 alors le processus (X t ) t훀0 coïncide avec le processus de Poisson
(X 0 + N t ) t0 issu de X 0 et d’intensité λ, où (N t ) t0 est le processus de Poisson
des arrivées, d’où X t → +∞ p.s. quand t → ∞ si X 0 > 0 et λ > 0.
On s’intéresse plutôt dans cette section au cas où λ = 0 et X 0 = N . La file
comporte N clients au temps t = 0, et aucun nouveau client n’arrive. Dans
ce cas, le processus (X t ) t0 est un processus de mort pur, et X t suit la loi
Bin(N, e
−μt ), d’où X t → 0 p.s. quand t → ∞ si μ > 0 ou si X 0 = 0. Avec les
notations de l’introduction, les durées de service des N clients initiaux sont
S
1 , . . . , S
N . Les instants de fin de service successifs sont notés (T
(N )
n ) 1nN :
min(S
1 , . . . , S
n ) = T
(N )
1
· · · T
(N )
N
= max(S
1 , . . . , S
n ).
On a X t = 0 si t > T
(N )
N . Le lemme de Rényi 11.3 indique que les v.a.r.
(τ
(N )
n ) 1nN où τ
(N )
n
:= T
(N )
n
− T
(N )
n−1
et T
(N )
0
:= 0
sont indépendantes de lois exponentielles de paramètres respectifs
((N − n + 1)μ) 1nN .
On s’intéresse au temps de demi-vie T
(N )
, c’est-à-dire au temps au bout
duquel la moitié des N clients initiaux a quitté la file.
Théorème 11.6 (Convergence du temps de demi-vie). On a
T
(N )
N/2
p.s.
−→
N →∞
log(2)
μ
.
Démonstration. Pour alléger les notations et simplifier, on omet l’exposant
«(N )», on suppose que N est pair, et on pose M := N/2. On observe tout
d’abord que
E
T N/2
=
N/2
n=1
E(τ n ) =
1
μ
N/2
n=1
1
N − n + 1
=
1
μ
(H(N ) − H(N/2)) =
log(2)
μ
+ o(1),
où H(n) est la série harmonique. De plus,
T M − E(T M ) =
M
n=1
(τ n − E(τ n )),
où les variables (τ n − E(τ n )) n1 sont indépendantes et centrées et τ n − E(τ n )
a la même loi que (E − 1)/μ(N + 1 − n) où E suit la loi exponentielle de paramètre 1. Pour établir la convergence, nous allons utiliser l’inégalité de Markov