11.1 Lois exponentielles
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Comme E 1 +· · ·+E n ∼ Gamma(n, λ), cela nous dit qu’un mélange géométrique de lois Gamma de même paramètre d’échelle est une loi exponentielle.
Démonstration. Pour tout t ∈ R et tout k 1, on a E(e
itE k ) = λ/(λ − it), et
E(e
it(E1+···+E G ) ) =
∞
n=1
E(e
it(E1+···+En) )P(G = n)
=
∞
n=1
E(e
itE1 )
n (1 − p)
n−1 p
=
pE(e
itE1 )
1 − E(e itE1 )(1 − p)
=
λp
λp − it
.
Le lemme 11.4 indique que si on accepte chaque client du processus de
Poisson des arrivées (de paramètre λ) avec probabilité p alors le processus
«aminci» résultant est un processus de Poisson d’intensité pλ.
Le lemme suivant achève notre petit catalogue de propriétés fondamentales des lois exponentielles. Il implique par exemple que les trajectoires du
processus de Poisson (N t ) t0 sont bien définies (elles n’explosent pas).
Lemme 11.5 (Loi du zéro-un). Si (E n ) n1 sont des v.a.r. indépendantes de
lois exponentielles de paramètres respectifs (λ n ) n1 avec 0 < λ n < ∞ pour
tout n 1, alors l’événement {
∞
n=1 E n = ∞} est de probabilité 0 ou 1 et
P
∞
n=1 E n = ∞
= 1 si et seulement si
∞
n=1
1
λ n
= ∞.
La série
∞
n=1 E n diverge p.s. si et seulement si elle diverge en moyenne.
Démonstration. La variable T ∞ =
∞
n=1 E n prend ses valeurs dans l’ensemble
R + ∪{∞}. Le théorème de convergence monotone donne E(T ∞ ) =
∞
n=1 1/λ n
dans R + ∪ {∞}. Par conséquent, si
∞
n=1 1/λ n < ∞ alors E(T ∞ ) < ∞ et
donc P(T ∞ = ∞) = 0. L’indépendance n’a pas été utilisée. Réciproquement,
le théorème de convergence monotone et l’indépendance donnent
E
e
−T∞
=
∞
n=1
E
e
−En
=
∞
n=1
1 +
1
λ n
−1
.
Or
∞
n=1 1/λ n = ∞ si et seulement si
∞
n=1 (1 + 1/λ n )
−1 = 0, car pour
toute suite (a n ) n1 de réels positifs, le produit
∞
n=1 (1 + a n ) converge si
et seulement si la série
∞
n=1 a n converge. Ainsi, si
∞
n=1 1/λ n = ∞, alors
E(exp(−T ∞ )) = 0, et donc P(T ∞ = ∞) = 1.