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11 File d’attente M/M/Infini
Lemme 11.3 (Lemme de Rényi sur la statistique d’ordre exponentielle). Si
E 1 , . . . , E n sont des v.a.r. i.i.d. de loi exponentielle Exp(λ), et si
min(E 1 , . . . , E n ) = E (1) < · · · < E (n) = max(E 1 , . . . , E n )
est le réordonnement croissant (statistique d’ordre) de E 1 , . . . , E n , alors
(E (1) , . . . , E (n) )
loi
=
E 1
n
, · · · ,
E 1
n
+ · · · +
E n
1
.
En particulier, pour tout 1 k n, avec la convention E 0 := 0,
E (k)
loi
=
E 1
n
+ · · · +
E k
n − k + 1
= E (k−1) +
E k
n − k + 1
.
Démonstration. Pour le voir, on écrit, pour toute fonction mesurable et bornée
ϕ : R
n
→ R, en utilisant des changements de variables,
E(ϕ(E (1) , . . . , E (n) )) =
[0,∞) n
ϕ(x (1) , . . . , x (n) ) λ
n e
−λ(x1+···+xn) dx 1 · · · dx n
= n!
0y1<··· ϕ(y 1 , . . . , y n ) λ
n e
−λ(y1+···+yn) dy 1 · · · dy n
=
[0,∞) n
ϕ(z 1 , . . . , z 1 + · · · + z n ) n!λ
n e
−λ(nz1+···+1zn) dz,
où dz := dz 1 · · · dz n , ce qui signifie que les variables aléatoires
E (1) , E (2) − E (1) , . . . , E (n) − E (n−1)
sont indépendantes avec E (k) − E (k−1) ∼ Exp((n − k + 1)λ), 1 k n.
Notons au passage que l’identité en loi concernant le minimum
min(E 1 , . . . , E n ) = E (1)
loi
=
1
n
E 1
est un cas spécial du lemme 11.2 avec I = {1, . . . , n} et λ 1 = · · · = λ n . D’autre
part, l’identité en loi concernant le maximum
max(E 1 , . . . , E n ) = E (n)
loi
=
E 1
n
+ · · · +
E n
1
est démontrée autrement dans la preuve du théorème 10.8 (transformée de
Laplace) ainsi que dans la preuve du théorème 13.4 (via la densité, par récurrence sur n). Elle apparaît également dans les chapitres 1, 9, et 17 (processus
de Yule). Nous l’utilisons dans la section suivante pour le temps de demi-vie.
Lemme 11.4 (Stabilité par sommation géométrique). Soient G, E 1 , E 2 , . . .
des variables aléatoires indépendantes avec G de loi géométrique de paramètre
p ∈ ]0, 1] et E 1 , E 2 , . . . de loi exponentielles de paramètre λ. Alors la somme
aléatoire E 1 + · · · + E G suit la loi exponentielle de paramètre pλ.