11.1 Lois exponentielles
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On suppose que X 0 , (S n ) n0 , (S
n ) n0 , (E n ) n0 sont indépendantes. Pour tout
réel t 0, le nombre de clients dans la file au temps t vaut donc
X t :=
X0
n=0
1 {S
n >t} +
∞
n=0
1 {Tnt 11.1 Lois exponentielles
Les lemmes suivants sont très utiles, bien au-delà des files d’attentes. Ils
jouent un rôle notamment dans la structure des processus de Markov.
Lemme 11.1 (Absence de mémoire). Si E 1 et E 2 sont deux variables aléatoires exponentielles indépendantes de paramètres respectifs λ 1 et λ 2 , alors
Loi(E 2 − E 1 | E 2 > E 1 ) = Exp(λ 2 ) = Loi(E 2 )
c’est-à-dire que P(E 2 − E 1 > t | E 2 > E 1 ) = e
−λ2t pour tout t 0.
Démonstration. Pour tout t 0 on a P(E 2 > E 1 + t | E 2 > E 1 ) = e
−λ2t car
P(E 2 > E 1 ) =
λ 1
λ 1 + λ 2
tandis que P(E 2 > E 1 + t, E 2 > E 1 ) = P(E 2 > E 1 + t) vaut
v>u+t
u>0
λ 1 e
−λ1u λ 2 e
−λ2v dudv =
λ 1
λ 1 + λ 2
e
−λ2t .
Lemme 11.2 (Horloges exponentielles en compétition). Si (E i ) i∈I est une
famille finie ou infinie dénombrable de v.a.r. indépendantes de lois exponentielles de paramètres respectifs (λ i ) i∈I avec λ :=
i∈I λ i < ∞, alors la variable aléatoire M := inf i∈I E i suit la loi exponentielle Exp(λ), et de plus,
presque sûrement, l’infimum est atteint en un unique entier aléatoire I, indépendant de M , dont la loi est donnée par P(I = i) = λ i /λ pour tout i ∈ I.
Démonstration du lemme 11.2. Pour tout i ∈ I et tout x ∈ R + ,
P(min
k =i
(E k ) > E i x) = λ i
∞
x
k =i
P(E k > y) e
−λiy dy =
λ i
λ
e
−λx .
C’est la formule pour P(I = i, M x), qui donne la loi du couple (I, M ).