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11 File d’attente M/M/Infini
la priorité, la politique de traitement , etc. De plus les files d’attente peuvent
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être mises en tandem, voire en réseau, etc. Enfin, il est parfois plus réaliste de
faire varier les intensités d’arrivée λ et de service μ au cours du temps, ce qui
mène mathématiquement à utiliser la notion naturelle de processus ponctuel.
Ce chapitre est consacré à la file d’attente M/M/∞, qui est sans doute la
file la plus simple à étudier, et qui constitue un analogue à espace discret du
processus d’Ornstein-Uhlenbeck. Dans le modèle de la file d’attente M/M/∞,
les durées qui séparent les arrivées des clients sont i.i.d. de loi exponentielle
de paramètre λ. Chaque client dispose d’un serveur dédié dès son arrivé qui
débute son traitement immédiatement, et les durées de traitement sont i.i.d.
de loi exponentielle de paramètre μ, indépendantes du processus des arrivées.
Une particularité de la file d’attente M/M/∞ est qu’à tout instant, le nombre
de clients dans la file est égal au nombre de clients en cours de service.
La file d’attente M/M/∞ constitue une version simplifiée de la file d’attente M/M/K/K quand λ/μ est négligeable devant K. Elle modélise par
exemple le nombre de voitures garées dans un parking de très grande capacité : les voitures sont les clients, les places du parking sont les serveurs,
et la durée de service d’une voiture correspond à la durée d’occupation de la
place de parking par la voiture. Des situations concrètes très variées peuvent
bénéficier de la modélisation par la file d’attente M/M/∞.
Pour construire rigoureusement le processus (X t ) t0 , on se place tout
d’abord dans le cas où la file est vide au temps initial : X 0 = 0. Les durées séparant les arrivées des clients sont modélisées par une suite (E n ) n0
de v.a.r. i.i.d. de loi exponentielle de paramètre λ. Le n
e client arrive donc
au temps T n := E 1 + · · · + E n , qui suit une loi Gamma(n, λ). Pour tout réel
t 0, le nombre de clients arrivés dans l’intervalle de temps [0, t] est
N t :=
∞
n=0
1 {Tnt} .
Le processus de comptage (N t ) t0 est un processus de Poisson issu de 0 et
d’intensité λ. Pour tout entier n 0, on note S n la durée de service du n
e
client de sorte que ce client quitte la file au temps n + S n . La suite (S n ) n0
est constituée de v.a.r. i.i.d. de loi exponentielle de paramètre μ. On suppose
que les variables aléatoires X 0 , (S n ) n0 , (E n ) n0 sont indépendantes. Pour
tout t ∈ R + , le nombre de clients dans la file au temps t vaut
∞
n=0
1 {Tnt
(S
n ) n0 de v.a.r. i.i.d. de loi exponentielle de paramètre μ, indépendante de
X 0 , et on modélise les durées de service de ces clients initiaux par S
0 , . . . , S
X0 .
3. La politique de traitement standard est FIFO (pour «First In First Out»).
T
11 File d’attente M/M/Infini
la priorité, la politique de traitement , etc. De plus les files d’attente peuvent
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être mises en tandem, voire en réseau, etc. Enfin, il est parfois plus réaliste de
faire varier les intensités d’arrivée λ et de service μ au cours du temps, ce qui
mène mathématiquement à utiliser la notion naturelle de processus ponctuel.
Ce chapitre est consacré à la file d’attente M/M/∞, qui est sans doute la
file la plus simple à étudier, et qui constitue un analogue à espace discret du
processus d’Ornstein-Uhlenbeck. Dans le modèle de la file d’attente M/M/∞,
les durées qui séparent les arrivées des clients sont i.i.d. de loi exponentielle
de paramètre λ. Chaque client dispose d’un serveur dédié dès son arrivé qui
débute son traitement immédiatement, et les durées de traitement sont i.i.d.
de loi exponentielle de paramètre μ, indépendantes du processus des arrivées.
Une particularité de la file d’attente M/M/∞ est qu’à tout instant, le nombre
de clients dans la file est égal au nombre de clients en cours de service.
La file d’attente M/M/∞ constitue une version simplifiée de la file d’attente M/M/K/K quand λ/μ est négligeable devant K. Elle modélise par
exemple le nombre de voitures garées dans un parking de très grande capacité : les voitures sont les clients, les places du parking sont les serveurs,
et la durée de service d’une voiture correspond à la durée d’occupation de la
place de parking par la voiture. Des situations concrètes très variées peuvent
bénéficier de la modélisation par la file d’attente M/M/∞.
Pour construire rigoureusement le processus (X t ) t0 , on se place tout
d’abord dans le cas où la file est vide au temps initial : X 0 = 0. Les durées séparant les arrivées des clients sont modélisées par une suite (E n ) n0
de v.a.r. i.i.d. de loi exponentielle de paramètre λ. Le n
e client arrive donc
au temps T n := E 1 + · · · + E n , qui suit une loi Gamma(n, λ). Pour tout réel
t 0, le nombre de clients arrivés dans l’intervalle de temps [0, t] est
N t :=
∞
n=0
1 {Tnt} .
Le processus de comptage (N t ) t0 est un processus de Poisson issu de 0 et
d’intensité λ. Pour tout entier n 0, on note S n la durée de service du n
e
client de sorte que ce client quitte la file au temps n + S n . La suite (S n ) n0
est constituée de v.a.r. i.i.d. de loi exponentielle de paramètre μ. On suppose
que les variables aléatoires X 0 , (S n ) n0 , (E n ) n0 sont indépendantes. Pour
tout t ∈ R + , le nombre de clients dans la file au temps t vaut
∞
n=0
1 {Tnt
(S
n ) n0 de v.a.r. i.i.d. de loi exponentielle de paramètre μ, indépendante de
X 0 , et on modélise les durées de service de ces clients initiaux par S
0 , . . . , S
X0 .
3. La politique de traitement standard est FIFO (pour «First In First Out»).
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