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File d’attente M/M/Infini
Mots-clés. Loi exponentielle ; loi binomiale ; loi de Poisson ; file d’attente ;
loi invariante.
Outils. Chaîne de Markov à temps continu ; processus de Poisson ; couplage ; distance de Wasserstein ; semi-groupe ; générateur infinitésimal ; fonction génératrice ; inégalité de Markov.
Difficulté. **
Les files d’attente
1 font partie des modèles aléatoires les plus répandus et
les plus utiles. Le cas le plus simple à décrire est sans doute le suivant : des
clients font la queue devant un guichet appelé serveur. Les durées qui séparent
les arrivées des clients successifs sont modélisées par des v.a.r. i.i.d. de loi
exponentielle de paramètre λ, tandis que les durées de traitement des clients
successifs par le serveur sont modélisées par des v.a.r. i.i.d. de loi exponentielle
de paramètre μ. Le choix de la loi exponentielle est justifiable par sa propriété
d’absence de mémoire, ce qui correspond à beaucoup de situations concrètes.
On s’intéresse au nombre X t de clients dans la file d’attente à l’instant t. Le
processus (X t ) t0 est une chaîne de Markov à temps continu d’espace d’états
N. Dans une nomenclature due à Kendall, on dit qu’il s’agit d’une file M/M/1
de taux λ et μ : le premier M indique l’absence de mémoire
2 des durées entre
les arrivées, le second M indique l’absence de mémoire des durées de service,
et le 1 final indique enfin qu’il n’y a qu’un seul serveur. Plus généralement, on
peut définir des files d’attentes M/M/s, où s est un entier quelconque. Plus
généralement encore la file M/M/s/K tient compte d’une taille maximale K
de file d’attente ce qui modélise une salle d’attente de capacité limité. La file
d’attente M/M/K/K modélise par exemple un parking avec K places. Il est
possible de tenir compte de phénomènes supplémentaires comme l’impatience,
1. En anglais on dit «queues».
2. En anglais on dit «Memoryless».
139
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_11
File d’attente M/M/Infini
Mots-clés. Loi exponentielle ; loi binomiale ; loi de Poisson ; file d’attente ;
loi invariante.
Outils. Chaîne de Markov à temps continu ; processus de Poisson ; couplage ; distance de Wasserstein ; semi-groupe ; générateur infinitésimal ; fonction génératrice ; inégalité de Markov.
Difficulté. **
Les files d’attente
1 font partie des modèles aléatoires les plus répandus et
les plus utiles. Le cas le plus simple à décrire est sans doute le suivant : des
clients font la queue devant un guichet appelé serveur. Les durées qui séparent
les arrivées des clients successifs sont modélisées par des v.a.r. i.i.d. de loi
exponentielle de paramètre λ, tandis que les durées de traitement des clients
successifs par le serveur sont modélisées par des v.a.r. i.i.d. de loi exponentielle
de paramètre μ. Le choix de la loi exponentielle est justifiable par sa propriété
d’absence de mémoire, ce qui correspond à beaucoup de situations concrètes.
On s’intéresse au nombre X t de clients dans la file d’attente à l’instant t. Le
processus (X t ) t0 est une chaîne de Markov à temps continu d’espace d’états
N. Dans une nomenclature due à Kendall, on dit qu’il s’agit d’une file M/M/1
de taux λ et μ : le premier M indique l’absence de mémoire
2 des durées entre
les arrivées, le second M indique l’absence de mémoire des durées de service,
et le 1 final indique enfin qu’il n’y a qu’un seul serveur. Plus généralement, on
peut définir des files d’attentes M/M/s, où s est un entier quelconque. Plus
généralement encore la file M/M/s/K tient compte d’une taille maximale K
de file d’attente ce qui modélise une salle d’attente de capacité limité. La file
d’attente M/M/K/K modélise par exemple un parking avec K places. Il est
possible de tenir compte de phénomènes supplémentaires comme l’impatience,
1. En anglais on dit «queues».
2. En anglais on dit «Memoryless».
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_11