10.3 Cas de la loi exponentielle
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Fig. 10.2. Histogramme de la limite presque sûre de la suite aléatoire (Y n − log n)n
et densité de la loi de Gumbel.
=
n
1 − θ
∞
0
e
θz (n − 1)e
−2z
1 − e
−z
n−2 dz
=
n
1 − θ
L n−1 (θ − 1),
et une récurrence immédiate donne
L n (θ) =
n
k=1
n + 1 − k
k − θ
= n!
n
k=1
(k − θ)
−1
.
On en déduit que Y n et Z (n) ont même loi. En fait cette propriété ne constitue
qu’une partie du lemme de Rényi 11.3. Ainsi, pour tout réel x,
P(Y n − log(n) x) = P(Z (n) − log(n) x) =
1 −
e
−x
n
n
−→
n→∞
e
−e
−x ,
ce qui conclut la preuve des deux premiers points. Pour le dernier point, on a
nP n = n(1 − F (Y n−1 )) = e
−(Y n−log(n)) p.s.
−→
n→∞
e
−G ,
ce qui donne T n /n
2 p.s.
−→
n→∞
e
G /2 par le théorème 10.7.