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10 Records, extrêmes, et recrutements
10.4 Cas de la loi de Pareto
Théorème 10.9 (Évolution de la moyenne). Supposons que les variables
aléatoires (X n ) n1 soient distribuées selon la loi de Pareto de paramètre (θ, β)
avec θ > 0 et β > 1, c’est-à-dire qu’elles possèdent la fonction de répartition
suivante :
F (x) =
1 −
θ
x
β
1 [θ,+∞[ (x).
Alors, il existe une variable aléatoire Y telle que P(0 < Y < ∞) = 1 et
Y n
n 1/(β−1)
p.s.
−→
n→∞
Y.
Démonstration. Si X suit la loi de Pareto de paramètre (θ, β) alors X/θ suit
la loi de Pareto de paramètre (1, β). On supposera donc dans la suite de la
preuve que θ = 1. De plus, si X suit la loi de Pareto de paramètre (1, β),
alors la loi de X sachant que X > c est la loi de cX. En notant F n la tribu
engendrée par (Y 1 , . . . , Y n ), on a, pour tout x > 1,
P(Y n > xY n−1 | F n−1 ) = P(X > xY n−1 | X > Y n−1 , Y n−1 ) = x
−β .
où X est une variable aléatoire de loi de Pareto de paramètre β indépendante
de F n−1 . En d’autres termes, la loi de Y n /Y n−1 sachant F n−1 est la loi de
Pareto de paramètre β. En conséquence,
E(Y n | F n−1 ) =
(n − 1)Y n−1 + E(Y n | Y n−1 )
n
=
n − 1 + E(X)
n
Y n−1 .
Posons, pour n 1,
a n =
n − 1 + E(X)
n
= 1 +
1
n(β − 1)
et b n =
1
n
j=1 a j
.
La suite (M n ) n1 définie par M n = b n Y n est une martingale positive d’espérance 1. Elle converge donc presque sûrement vers une variable aléatoire
M positive de L
1 . Nous omettons ici la preuve assez technique du fait que
P(0 < M < ∞) = 1. Enfin, on remarque que
b n = exp
−
n
j=1
log
1 +
1
(β − 1)j
= exp
−
1
β − 1
n
j=1
1
j
+ o(1)
.
En d’autres termes, n
1/(β−1) b n converge vers un réel strictement positif.
Corollaire 10.10 (Temps de recrutement). Il existe une variable aléatoire T
à valeurs dans (0, ∞) telle que
T n
n (2β−1)/(β−1)
p.s.
−→
n→∞
T.