10.3 Cas de la loi exponentielle
133
La suite (b n ) n1 est strictement croissante et tend vers +∞ puisque 1/P i est
de l’ordre de i
α /W . Plus précisément, une comparaison série-intégrale donne
b n ∼
n
α+1
(α + 1)W
.
D’autre part, T n − T n−1 suit la loi géométrique de paramètre P n donc
E
Q
2
n
b 2
n
F
=
1 − P n
b 2
n P 2
n
∼
n→∞
(α + 1)
2
n 2
qui est le terme général d’une série convergente. Le théorème des séries centrées (théorème 10.3) assure donc que
1
b n
n
k=1
Q k =
T n
b n
− 1
p.s.
−→
n→∞
0.
L’équivalent de b n donne le résultat annoncé.
10.3 Cas de la loi exponentielle
Théorème 10.8 (Évolution de la moyenne et de l’effectif). Supposons que
les variables aléatoires (X n ) n1 soient distribuées selon la loi exponentielle
de paramètre λ. Alors il existe une variable aléatoire G de loi de Gumbel de
fonction de répartition x → exp(−e
−x ) telle que
λY n − log(n)
L
2
−→
n→∞
G, λY n − log(n)
p.s.
−→
n→∞
G, et
T n
n 2
p.s.
−→
n→∞
e
G
2
.
Démonstration. Quitte à considérer la suite (λY n ) n1 , on peut supposer que
λ = 1. Avec la convention Y 0 = 0, posons, pour tout n 0,
η n = Y n+1 − Y n = (n + 1)(Y n+1 − Y n ).
On a donc Y n = Y 1 +
n
j=1 η j−1 /j. Notons F n la tribu engendrée par
(Y 1 , . . . , Y n ). Pour tout n 1, la loi conditionnelle de η n sachant F n est
égale à la loi de Y n+1 − Y n sachant Y n et {Y n+1 > Y n }, d’où, en utilisant la
propriété d’absence de mémoire des lois exponentielles,
P(η n > x | F n ) = P(Y n+1 > Y n + x | Y n , Y n+1 > Y n ) = e
−x .
Les variables aléatoires (η n ) n0 sont donc indépendantes et de même loi exponentielle de paramètre 1. Avec h n =
n
k=1
1
k , on a
Y n − h n =
n
k=1
η k−1 − 1
k
.