132
10 Records, extrêmes, et recrutements
10.2 Au-dessus de la moyenne
On construit alors par récurrence les suites (Y n ) n1 , (Y n ) n1 et (T n ) n1 :
Y 1 = X 1 , Y 1 = Y 1 et T 1 = 1,
puis, pour tout n 1, par
T n+1 = inf
i > T n : X i > Y n
, Y n+1 = X Tn+1 et Y n+1 =
1
n + 1
n+1
i=1
Y i .
Pour tout n 1, Y n est la performance du n-ième candidat retenu, T n est le
nombre de candidats auditionnés pour en retenir n et Y n est la moyenne des
performances des n premiers candidats retenus.
Théorème 10.6 (Vers la qualité maximale).
Y n
p.s.
−→
n→∞
x F .
Démonstration. Presque sûrement, les variables aléatoires (X n ) n1 sont strictement inférieures à x F . Ainsi, on montre par récurrence que Y n et Y n sont
également strictement inférieures à x F et que par suite T n+1 est fini. La suite
(Y n ) n1 est croissante et bornée par x F , elle converge donc vers un réel x ∞ .
Celui-ci est nécessairement égal à x F car le supremum d’une infinité de v.a. indépendantes de fonction de répartition F est égal à x F . Ainsi la suite (Y n ) n1
converge presque sûrement vers x F . Le lemme de Cesàro assure qu’il en est
de même pour (Y n ) n1 .
On s’intéresse alors au nombre de candidats qu’il faudra auditionner pour
former une équipe de taille donnée. Le résultat suivant permet de conclure
sous une hypothèse assez souvent vérifiée en pratique sur la convergence de la
suite (Y n ) n1 .
Théorème 10.7 (Comportement asymptotique des auditionnés). Soit la
suite de variables aléatoires (P n ) n1 définie par P 1 = 1 et, pour n 2,
P n = 1 − F (Y n−1 ). S’il existe un réel α > 0 et une variable aléatoire W
tels que P(0 < W < ∞) = 1 et n
α P n
p.s.
−→
n→∞
W alors
T n
n α+1
p.s.
−→
n→∞
1
(α + 1)W
.
Démonstration. L’idée est d’appliquer le théorème 10.3 conditionnellement à
la tribu F engendrée par la suite (Y n ) n1 en posant, pour n 1,
b n =
n
i=1
1
P i
et Q n = T n − T n−1 −
1
P n
avec T 0 = 0.
10 Records, extrêmes, et recrutements
10.2 Au-dessus de la moyenne
On construit alors par récurrence les suites (Y n ) n1 , (Y n ) n1 et (T n ) n1 :
Y 1 = X 1 , Y 1 = Y 1 et T 1 = 1,
puis, pour tout n 1, par
T n+1 = inf
i > T n : X i > Y n
, Y n+1 = X Tn+1 et Y n+1 =
1
n + 1
n+1
i=1
Y i .
Pour tout n 1, Y n est la performance du n-ième candidat retenu, T n est le
nombre de candidats auditionnés pour en retenir n et Y n est la moyenne des
performances des n premiers candidats retenus.
Théorème 10.6 (Vers la qualité maximale).
Y n
p.s.
−→
n→∞
x F .
Démonstration. Presque sûrement, les variables aléatoires (X n ) n1 sont strictement inférieures à x F . Ainsi, on montre par récurrence que Y n et Y n sont
également strictement inférieures à x F et que par suite T n+1 est fini. La suite
(Y n ) n1 est croissante et bornée par x F , elle converge donc vers un réel x ∞ .
Celui-ci est nécessairement égal à x F car le supremum d’une infinité de v.a. indépendantes de fonction de répartition F est égal à x F . Ainsi la suite (Y n ) n1
converge presque sûrement vers x F . Le lemme de Cesàro assure qu’il en est
de même pour (Y n ) n1 .
On s’intéresse alors au nombre de candidats qu’il faudra auditionner pour
former une équipe de taille donnée. Le résultat suivant permet de conclure
sous une hypothèse assez souvent vérifiée en pratique sur la convergence de la
suite (Y n ) n1 .
Théorème 10.7 (Comportement asymptotique des auditionnés). Soit la
suite de variables aléatoires (P n ) n1 définie par P 1 = 1 et, pour n 2,
P n = 1 − F (Y n−1 ). S’il existe un réel α > 0 et une variable aléatoire W
tels que P(0 < W < ∞) = 1 et n
α P n
p.s.
−→
n→∞
W alors
T n
n α+1
p.s.
−→
n→∞
1
(α + 1)W
.
Démonstration. L’idée est d’appliquer le théorème 10.3 conditionnellement à
la tribu F engendrée par la suite (Y n ) n1 en posant, pour n 1,
b n =
n
i=1
1
P i
et Q n = T n − T n−1 −
1
P n
avec T 0 = 0.