9.6 Pour aller plus loin
127
1 +
1
a − 1
b−1
i=0
1
a−1
i
1 +
1
a − 1
+
b − 1
a−1
2
ce qui fournit l’encadrement souhaité.
Le théorème 9.12 assure que le temps mis par le système pour passer
d’un état de total déséquilibre à celui d’équilibre parfait est extrêmement
négligeable devant le temps mis pour l’évolution inverse. Pour un nombre de
molécules égal à 100, m 0,50 est majoré par 256 tandis que m 50,0 est de l’ordre
de 10
30 soit quelques mille milliards de milliards de milliards.
9.6 Pour aller plus loin
Le temps de mélange pour la marche aléatoire sur le cube discret vérifie
une propriété de convergence abrupte autour de (a/2) log(a) de fenêtre a :
dans un intervalle de longueur de l’ordre de a autour de (a/2) log a la distance
en variation totale entre R
n (x, ·) et π passe d’un voisinage de 1 à un voisinage
de 0. La borne supérieure est fournie par le théorème 9.4, qu’on peut compléter
par l’estimation suivante qui se trouve dans le livre David Levin, Yuval Peres,
et Elizabeth Wilmer [LPW09] : si n = (1/2)a log(a) − ca avec c > 0, alors
max
x∈F
d VT (R
n (x, ·), π) 1 − 8e
−(2c+1) .
Ce résultat semble provenir d’un travail de Persi Diaconis et Mehrdad Shahshahani [DS87]. Les valeurs propres et vecteurs propres de la matrice de transition P de la chaîne d’Ehrenfest sont obtenus par Mark Kac dans [Kac47].
On peut également les obtenir à partir de ceux de la matrice de transition R
du modèle microscopique (marche sur le cube discret) qui sont décrits dans le
livre de Levin, Peres, et Wilmer [LPW09, exemple 12.15].
La relation classique entre espérance du temps de retour et loi invariante
utilisée dans la preuve du théorème 9.10 est établie par exemple dans le livre
de James Norris [Nor98a]. Les théorèmes 9.2 et 9.12 sont tirés du livre de
John Kemeny et Laurie Snell [KS76].
Les molécules passent très vite d’une urne à l’autre. Ainsi, le temps microscopique est différent du temps macroscopique. Considérons qu’une unité
de temps macroscopique corresponde à a changements d’urnes. Quelle est
alors l’évolution de la pression dans cette nouvelle échelle de temps ? Le théorème 9.8 entraîne immédiatement que, pour tout t > 0,
E
P at
−→
a→∞
1
2
+
E(P 0 ) −
1
2
e
−2t et E
V at
−→
a→∞
Var(X 0 )e
−4t ,
puisque 횿at횿/a tend vers t. Cette convergence est la partie émergée d’un iceberg : convenablement renormalisée en temps et en espace, la chaîne d’Ehrenfest converge en loi vers le processus de diffusion d’Ornstein-Uhlenbeck,
comme présenté dans le chapitre 27.
127
1 +
1
a − 1
b−1
i=0
1
a−1
i
1 +
1
a − 1
+
b − 1
a−1
2
ce qui fournit l’encadrement souhaité.
Le théorème 9.12 assure que le temps mis par le système pour passer
d’un état de total déséquilibre à celui d’équilibre parfait est extrêmement
négligeable devant le temps mis pour l’évolution inverse. Pour un nombre de
molécules égal à 100, m 0,50 est majoré par 256 tandis que m 50,0 est de l’ordre
de 10
30 soit quelques mille milliards de milliards de milliards.
9.6 Pour aller plus loin
Le temps de mélange pour la marche aléatoire sur le cube discret vérifie
une propriété de convergence abrupte autour de (a/2) log(a) de fenêtre a :
dans un intervalle de longueur de l’ordre de a autour de (a/2) log a la distance
en variation totale entre R
n (x, ·) et π passe d’un voisinage de 1 à un voisinage
de 0. La borne supérieure est fournie par le théorème 9.4, qu’on peut compléter
par l’estimation suivante qui se trouve dans le livre David Levin, Yuval Peres,
et Elizabeth Wilmer [LPW09] : si n = (1/2)a log(a) − ca avec c > 0, alors
max
x∈F
d VT (R
n (x, ·), π) 1 − 8e
−(2c+1) .
Ce résultat semble provenir d’un travail de Persi Diaconis et Mehrdad Shahshahani [DS87]. Les valeurs propres et vecteurs propres de la matrice de transition P de la chaîne d’Ehrenfest sont obtenus par Mark Kac dans [Kac47].
On peut également les obtenir à partir de ceux de la matrice de transition R
du modèle microscopique (marche sur le cube discret) qui sont décrits dans le
livre de Levin, Peres, et Wilmer [LPW09, exemple 12.15].
La relation classique entre espérance du temps de retour et loi invariante
utilisée dans la preuve du théorème 9.10 est établie par exemple dans le livre
de James Norris [Nor98a]. Les théorèmes 9.2 et 9.12 sont tirés du livre de
John Kemeny et Laurie Snell [KS76].
Les molécules passent très vite d’une urne à l’autre. Ainsi, le temps microscopique est différent du temps macroscopique. Considérons qu’une unité
de temps macroscopique corresponde à a changements d’urnes. Quelle est
alors l’évolution de la pression dans cette nouvelle échelle de temps ? Le théorème 9.8 entraîne immédiatement que, pour tout t > 0,
E
P at
−→
a→∞
1
2
+
E(P 0 ) −
1
2
e
−2t et E
V at
−→
a→∞
Var(X 0 )e
−4t ,
puisque 횿at횿/a tend vers t. Cette convergence est la partie émergée d’un iceberg : convenablement renormalisée en temps et en espace, la chaîne d’Ehrenfest converge en loi vers le processus de diffusion d’Ornstein-Uhlenbeck,
comme présenté dans le chapitre 27.