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9 Urnes d’Ehrenfest
Par symétrie, pour 0 i < a,
m i,i+1 = m a−i,a−i−1 = m a−i,0 − m a−i−1,0 .
Ainsi les réels (m i,j ) ij sont déterminés par les réels (m i,0 ) i . Remarquons à
présent que X n = 0 si et seulement si Y n = (0, . . . , 0). Donc le temps moyen
que met X à se rendre de i à 0 est le temps moyen que met Y pour aller de
n’importe quel élément de F situé à une distance i de (0, . . . , 0) à (0, . . . , 0),
autrement dit m i . Le théorème 9.2 assure alors que pour 0 i a − 1,
m i,i+1 = m a−i,0 − m a−i−1,0 =
a−i
k=1
Q
a
a−k −
a−i−1
k=1
Q
a
a−k = Q
a
i .
Corollaire 9.11 (Temps d’atteinte moyens). On a
m i,j =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
2
a /
a
i
si i = j,
j−1
k=i
Q
a
k
si i < j,
a−j−1
k=a−i
Q
a
k
si i > j.
Théorème 9.12 (Temps d’atteinte moyens). Si a est pair et b := a/2 alors
a
2 log(2) −
1
2
− 2 m 0,b a
1
4
+
1
2
log(a)
,
et
2
a
1 +
1
a − 1
m 0,a 2
a
1 +
2
a − 1
.
Preuve du second encadrement du théorème 9.12. Pour tout 0 i a − 1,
m i,i+1 + m i+1,i =
1
a−1
i
i
k=0
a
k
+
a
k=i+1
a
k
=
2
a
a−1
i
.
Donc
m 0,b + m b,0 = 2
a
b−1
i=0
1
a−1
i
.
De plus, puisque m b,0 = m b,a , on a
m 0,a = m 0,b + m b,a = 2
a
b−1
i=0
1
a−1
i
.
En séparant les deux premiers termes de la somme des autres, on a