9.3 Pression au fil du temps
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Théorème 9.8 (Moyenne et variance de la pression). Pour tout n ∈ N, en
notant α = 1 − 2/a et β = 1 − 4/a,
E(P n ) =
1
2
+
E(P 0 ) −
1
2
α
n ,
Var(P n ) =
1 − β
n
4a
+ Var(P 0 )β
n
−
E(P 0 ) −
1
2
2
(α
2n
− β
n ).
Démonstration. On raisonne par conditionnement :
E(X n+1 | X n ) = (X n + 1)
1 −
X n
a
+ (X n − 1)
X n
a
= αX n + 1.
On en déduit, en prenant l’espérance, une relation de récurrence pour la suite
(E(P n )) n qui donne immédiatement la formule pour la moyenne. De même,
E(X
2
n+1 | X n ) = (X n + 1)
2
1 −
X n
a
+ (X n − 1)
2 X n
a
=
1 −
4
a
X
2
n + 2X n + 1.
Ceci implique
Var(X n+1 ) = βVar(X n ) +
4
a 2 E(X n )(a − E(X n ))
= βVar(X n ) + 1 −
4
a 2
E(X 0 ) −
a
2
2
α
2n .
Un simple calcul fournit alors la formule pour la variance.
Remarque 9.9 (Valeurs propres et vecteurs propres). Soit f la fonction sur
E définie par f (x) = x − b où b = a/2, qui s’identifie avec le vecteur colonne
(−b, −b + 1, . . . , b − 1, b)
T . Un calcul immédiat montre que Pf = (1 − 2/a)f .
Ainsi, pour tout n 0 et tout x ∈ E,
E(X n | X 0 = x) − b = E(f (X n ) | X 0 = x) = P
n f (x) = α
n f (x) = α
n (x − b).
On retrouve la relation pour la moyenne du théorème 9.8 en prenant l’espérance par rapport à la loi de X 0 . Plus généralement, on peut montrer que si
a = 2b est pair alors les valeurs propres de P sont les rationnels (i/b) −bib .
D’après le théorème 9.8, si le vide est fait dans l’urne A à l’instant initial,
alors X 0 = 0, P 0 = 0, et la pression moyenne E(P n ) au temps n converge
géométriquement vers 1/2 quand n → ∞. D’autre part Var(P n ) 1/(4a)
puisque Var(P 0 ) = 0 et α
2
β, et l’inégalité de Tchebychev donne