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9 Urnes d’Ehrenfest
P(|P n − E(P n )| ε)
1
4aε 2 .
Comme a est très grand, la variable P n est quasiment déterministe, ce qui
correspond à l’expérience. La figure 9.2 donne une trajectoire de (P n ) n0
pour différentes conditions initiales.
Fig. 9.2. Évolution de la proportion de molécules dans l’urne A pour différentes
valeurs initiales 0, 0.25, et 1, pour a = 4000 molécules.
9.4 Fluctuations autour de la moyenne à l’équilibre
Supposons que le système soit à l’équilibre : X suit la loi binomiale
Bin(a, 1/2). Alors, P = X/a vérifie, en vertu du théorème limite central,
P
|P − 1/2|
x
2
√ a
a grand
2(1 − Φ(x))
2
x
√
2π
e
−x
2 /2 ,
où Φ est la fonction de répartition de la loi gaussienne standard N (0, 1).
On peut par ailleurs obtenir une estimation non asymptotique de cette
probabilité en utlisant l’inégalité de Chernoff. Plus précisément, si (Z i ) 1in
sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi
de Rademacher (1/2)(δ −1 + δ 1 ) alors, pour tout r 0 et tout λ > 0,
9 Urnes d’Ehrenfest
P(|P n − E(P n )| ε)
1
4aε 2 .
Comme a est très grand, la variable P n est quasiment déterministe, ce qui
correspond à l’expérience. La figure 9.2 donne une trajectoire de (P n ) n0
pour différentes conditions initiales.
Fig. 9.2. Évolution de la proportion de molécules dans l’urne A pour différentes
valeurs initiales 0, 0.25, et 1, pour a = 4000 molécules.
9.4 Fluctuations autour de la moyenne à l’équilibre
Supposons que le système soit à l’équilibre : X suit la loi binomiale
Bin(a, 1/2). Alors, P = X/a vérifie, en vertu du théorème limite central,
P
|P − 1/2|
x
2
√ a
a grand
2(1 − Φ(x))
2
x
√
2π
e
−x
2 /2 ,
où Φ est la fonction de répartition de la loi gaussienne standard N (0, 1).
On peut par ailleurs obtenir une estimation non asymptotique de cette
probabilité en utlisant l’inégalité de Chernoff. Plus précisément, si (Z i ) 1in
sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi
de Rademacher (1/2)(δ −1 + δ 1 ) alors, pour tout r 0 et tout λ > 0,