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9 Urnes d’Ehrenfest
P(x, x
훀 ) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x/a
si x
= x − 1 ;
1 − x/a si x
= x + 1 ;
0
sinon,
pour tous x, x
훀
∈ E,
irréductible, récurrente, de période 2. La loi binomiale Bin(a, 1/2) est invariante et réversible.
Démonstration. Soit F n et G n les tribus engendrées par les suites (X k ) 0kn
et (Y k ) 0kn respectivement, et soit S(y) = y(1) + · · · + y(a) pour tout y ∈ F .
Puisque X n = S(Y n ), la tribu F n est incluse dans la tribu G n . On a donc,
pour toute fonction f de E dans R,
E(f (X n+1 ) | F n ) = E(E(f (X n+1 ) | G n ) | F n ).
Par définition de X et puisque Y est une chaîne de Markov,
E(f (X n+1 ) | G n ) = E(f (S(Y n+1 )) | G n ) = E(f (S(Y n+1 )) | Y n ).
Enfin,
E(f (S(Y n+1 )) | Y n ) =
1 −
S(Y n )
a
f (S(Y n ) + 1) +
S(Y n )
a
f (S(Y n ) − 1).
On a donc
E(f (X n+1 ) | F n ) = E
1 −
X n
a
f (X n + 1) +
X n
a
f (X n − 1) | F n
=
1 −
X n
a
f (X n + 1) +
X n
a
f (X n − 1),
et donc X est une chaîne de Markov de matrice de transition P. Elle est
irréductible puisque i et i + 1 communiquent pour tout 0 i a avec la
convention a+1 = 0. Comme l’espace d’états est fini, la matrice est récurrente
(positive). Pour tout n, X n et X n+1 n’ont pas la même parité or P
2
0,0 > 0
donc la chaîne est de période 2. Note : en général, l’image d’une chaîne de
Markov par une fonction n’est pas une chaîne de Markov.
9.3 Pression au fil du temps
La pression au temps n dans l’urne A est de l’ordre de
P n :=
X n
a
.
On s’intéresse ici aux deux premiers moments de cette variable aléatoire.