9.2 Urne d’Ehrenfest
121
Tout comme pour T a (théorème 1.17) il y a convergence abrupte de S a
autour de la valeur (a/2) log(a) avec une fenêtre de largeur a.
Démonstration. Pour tout a 1 et r − log(a),
P
S a − (a/2) log(a)
a/2
r
= P
max
1ia
(E i )
ar
2
+
a log(a)
2
= P
E 1
a
2
(r + log(a))
a
=
1 −
e
−r
a
a
.
Ainsi, pour tout r ∈ R,
P
S a − (a/2) log a
a/2
r
−→
a→∞
e
−e
−r ,
ce qui est la convergence annoncée.
9.2 Urne d’Ehrenfest
Observer l’évolution de la chaîne Y demanderait de pouvoir déterminer
la position de chaque molécule ce qui est physiquement impossible car a est
de l’ordre du nombre d’Avogadro
7 . La grandeur macroscopique qui nous intéresse, et que l’on peut mesurer, est la proportion ou le nombre de molécules
situées dans l’urne A. Pour simplifier certaines expressions dans la suite, on
sera amené à se placer parfois dans le cas où a est pair. La lettre b désignera
alors toujours dans la suite l’entier a/2. À la chaîne de Markov Y qui décrit le
système microscopiquement, on associe le processus (X n ) n0 à valeurs dans
E := {0, 1, . . . , a}
où
X n :=
a
i=1
Y n (i)
est la somme des coordonnées de Y n , qui décrit le système macroscopiquement.
Théorème 9.7 (Chaîne d’Ehrenfest). Le processus (X n ) n0 est une chaîne
de Markov sur E de matrice de transition
7. Ce nombre approximativement égal à 6.022 × 10
23 définit la mole et correspond au nombre d’atomes dans 12 grammes de carbone 12. C’est aussi environ le
nombre de molécules contenues dans 22.414 litres d’un gaz parfait dans les conditions
normales de température (0˚C) et de pression (1 Atmosphère).