9.1 Modèle microscopique
115
E(inf{n 0 : Y n = x} | Y 0 = x) =
1
π(x)
= 2
a .
La loi du temps d’atteinte de y en partant de x ne dépend que de
d(x, y) =
a
i=1
|x i − y i | = x − y 1 .
Cette quantité est une distance qui compte le nombre de coordonnées différentes entre x et y. On note m d (en oubliant un moment la dépendance en a)
le temps d’atteinte moyen de y partant de x lorsque d(x, y) = d, c’est-à-dire
m d := E(inf{n 0 : Y n = y} | Y 0 = x).
Théorème 9.2 (Temps moyens). Pour 1 d a, on a
m d =
d
i=1
Q
a
a−i
où Q
a
i =
i
k=0
a
k
a−1
i
si 1 i a − 1.
Démonstration. D’après la propriété de Markov, la suite (m d ) 0da+1 vérifie
⎧
⎨
⎩
m d = 1 +
d
a
m d−1 +
a − d
a
m d+1 si 1 d a,
m 0 = m a+1 = 0,
et ce système d’équations de récurrence possède une unique solution.
Comme Y est de période 2, la loi de Y n ne converge pas vers la loi invariante
π quand n → ∞. Pour obtenir une chaîne apériodique, on la rend paresseuse
2 .
Cela consiste à modifier la matrice de transition en posant, pour tous x, y ∈ F
R(x, y) =
1
2
1 {y=x} +
1
2
Q(x, y).
La chaîne (Z n ) n0 associée à la matrice de transition R reste sur place avec
probabilité 1/2 ou se déplace avec la même probabilité vers l’un des sommets
voisins choisi selon la loi uniforme. Cette chaîne est irréductible récurrente
apériodique et réversible pour la loi π. La loi de Z n converge donc vers π
quelle que soit la loi de Z 0 . Nous présentons deux méthodes pour quantifier
cette convergence. La première fait appel à une méthode de couplage et au
collectionneur de coupons de la section 1.5. La seconde, plus fine, utilise la
décomposition spectrale de R. On note d VT (·, ·) la distance en variation totale
étudiée dans la section 1.3.
Théorème 9.3 (Temps long et collectionneur de coupons). Pour tout n 0,
max
x∈F
d VT (R
n (x, ·), π) P(T a > n),
où T a est le temps de complétion d’une collection de a coupons.
2. «Lazy chain» en anglais.
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E(inf{n 0 : Y n = x} | Y 0 = x) =
1
π(x)
= 2
a .
La loi du temps d’atteinte de y en partant de x ne dépend que de
d(x, y) =
a
i=1
|x i − y i | = x − y 1 .
Cette quantité est une distance qui compte le nombre de coordonnées différentes entre x et y. On note m d (en oubliant un moment la dépendance en a)
le temps d’atteinte moyen de y partant de x lorsque d(x, y) = d, c’est-à-dire
m d := E(inf{n 0 : Y n = y} | Y 0 = x).
Théorème 9.2 (Temps moyens). Pour 1 d a, on a
m d =
d
i=1
Q
a
a−i
où Q
a
i =
i
k=0
a
k
a−1
i
si 1 i a − 1.
Démonstration. D’après la propriété de Markov, la suite (m d ) 0da+1 vérifie
⎧
⎨
⎩
m d = 1 +
d
a
m d−1 +
a − d
a
m d+1 si 1 d a,
m 0 = m a+1 = 0,
et ce système d’équations de récurrence possède une unique solution.
Comme Y est de période 2, la loi de Y n ne converge pas vers la loi invariante
π quand n → ∞. Pour obtenir une chaîne apériodique, on la rend paresseuse
2 .
Cela consiste à modifier la matrice de transition en posant, pour tous x, y ∈ F
R(x, y) =
1
2
1 {y=x} +
1
2
Q(x, y).
La chaîne (Z n ) n0 associée à la matrice de transition R reste sur place avec
probabilité 1/2 ou se déplace avec la même probabilité vers l’un des sommets
voisins choisi selon la loi uniforme. Cette chaîne est irréductible récurrente
apériodique et réversible pour la loi π. La loi de Z n converge donc vers π
quelle que soit la loi de Z 0 . Nous présentons deux méthodes pour quantifier
cette convergence. La première fait appel à une méthode de couplage et au
collectionneur de coupons de la section 1.5. La seconde, plus fine, utilise la
décomposition spectrale de R. On note d VT (·, ·) la distance en variation totale
étudiée dans la section 1.3.
Théorème 9.3 (Temps long et collectionneur de coupons). Pour tout n 0,
max
x∈F
d VT (R
n (x, ·), π) P(T a > n),
où T a est le temps de complétion d’une collection de a coupons.
2. «Lazy chain» en anglais.