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9 Urnes d’Ehrenfest
Fig. 9.1. Répartition des molécules dans les deux urnes.
F := {0, 1}
a
où x(i) = 1 si la boule i est dans l’urne A et x(i) = 0 sinon. On dit que
deux configurations x et y de F sont voisines, et on note x ∼ y (ou encore
x ∼ i y), si elles ne diffèrent que d’une coordonnée (qui est i). Cette relation de
voisinage définit sur F une structure de graphe non orienté dont les sommets
sont les points de F et les arêtes sont les paires de sommets voisins. La marche
aléatoire sur le cube discret Y = (Y n ) n0 est la chaîne de Markov d’espace
d’états F , dont la matrice de transition est donnée, pour tous x, y ∈ F , par
Q(x, y) =
⎧
⎨
⎩
1
a
si x ∼ y,
0 sinon.
Cette matrice est symétrique et en particulier doublement stochastique. Le
temps d’atteinte de y ∈ E est la variable aléatoire inf{n 0 : Y n = y}. Sur
l’événement {Y 0 = y} ce temps d’atteinte devient un temps de retour.
Lemme 9.1 (Premières propriétés). La chaîne de Markov Y d’espace d’états
F et de matrice de transition Q est irréductible, récurrente, de période 2, et
la loi uniforme sur F notée π est invariante et réversible
1 . De plus, le temps
moyen de retour en x ∈ F ne dépend pas de x et vaut 2
a : pour tout x ∈ F ,
1. C’est-à-dire que π(x)Q(x, y) = π(y)Q(y, x) pour tous x, y. Sur les trajectoires
de Y , si Y0 ∼ π alors (Y0, . . . , Yn) et (Yn, . . . , Y0) ont même loi, pour tout n ∈ N.