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Urnes d’Ehrenfest
Mots-clés. Urne ; mesure invariante ; mesure réversible ; temps de retour ;
convergence à l’équilibre ; convergence abrupte.
Outils. Chaîne de Markov ; chaîne de Markov à temps continu ; couplage ;
distance en variation totale ; décomposition spectrale ; collectionneur de coupons ; inégalité de Chernoff ; inégalité de Tchebychev ; théorème limite central.
Difficulté. **
Le second principe de la thermodynamique postule que pour tout système
isolé, une grandeur macroscopique extensive appelée entropie augmente au
cours du temps. Dans la théorie cinétique des gaz de Boltzmann, le second
principe est une conséquence d’une approche statistique de la mécanique classique appliquée aux constituants microscopiques. Bien que séduisante, cette
approche fut critiquée par les adversaires de l’atomisme. En effet, comment
lever la contradiction entre la réversibilité microscopique héritée de la mécanique classique et l’irréversiblité macroscopique de la thermodynamique ? Le
modèle d’Ehrenfest propose, dans un cas extrêmement simple, une explication
à ce paradoxe. L’outil clé ici est celui des chaînes de Markov finies.
9.1 Modèle microscopique
Considérons deux récipients A et B, connectés par un petit trou, et contenant un gaz constitué de a molécules (figure 9.1). À chaque instant, l’une
des a molécules, au hasard, passe d’un récipient à l’autre en empruntant le
petit trou. On souhaite décrire l’évolution du système. On modélise ces deux
récipients par deux urnes A et B dans lesquelles sont réparties a boules numérotées de 1 à a. On associe à une configuration, c’est-à-dire à une répartition
des a boules, un élément x = (x(1), . . . , x(a)) du cube discret
113
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_9
Urnes d’Ehrenfest
Mots-clés. Urne ; mesure invariante ; mesure réversible ; temps de retour ;
convergence à l’équilibre ; convergence abrupte.
Outils. Chaîne de Markov ; chaîne de Markov à temps continu ; couplage ;
distance en variation totale ; décomposition spectrale ; collectionneur de coupons ; inégalité de Chernoff ; inégalité de Tchebychev ; théorème limite central.
Difficulté. **
Le second principe de la thermodynamique postule que pour tout système
isolé, une grandeur macroscopique extensive appelée entropie augmente au
cours du temps. Dans la théorie cinétique des gaz de Boltzmann, le second
principe est une conséquence d’une approche statistique de la mécanique classique appliquée aux constituants microscopiques. Bien que séduisante, cette
approche fut critiquée par les adversaires de l’atomisme. En effet, comment
lever la contradiction entre la réversibilité microscopique héritée de la mécanique classique et l’irréversiblité macroscopique de la thermodynamique ? Le
modèle d’Ehrenfest propose, dans un cas extrêmement simple, une explication
à ce paradoxe. L’outil clé ici est celui des chaînes de Markov finies.
9.1 Modèle microscopique
Considérons deux récipients A et B, connectés par un petit trou, et contenant un gaz constitué de a molécules (figure 9.1). À chaque instant, l’une
des a molécules, au hasard, passe d’un récipient à l’autre en empruntant le
petit trou. On souhaite décrire l’évolution du système. On modélise ces deux
récipients par deux urnes A et B dans lesquelles sont réparties a boules numérotées de 1 à a. On associe à une configuration, c’est-à-dire à une répartition
des a boules, un élément x = (x(1), . . . , x(a)) du cube discret
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_9