8.2 Situation favorable mais irréaliste
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— densité au point x de la loi de X sachant Z par rapport à dλ :
f θ (x|Z = j) = γ m(j),v(j) (x), x ∈ R,
— densité au point z de la loi de Z sachant X par rapport à dN :
g θ (z|X = x) =
α(z)γ m(z),v(z) (x)
J
j=1 α(j)γ m(j),v(j) (x)
, z ∈ {1, . . . , J}.
La dernière expression s’obtient grâce à la définition d’une probabilité
conditionnelle : en effet, pour tout A borélien et tout 1 z J,
P(X ∈ A, Z = z) = P(Z = z)P(X ∈ A|Z = z) = α(z)
A
γ m(z),v(z) (x) dx
et
P(X ∈ A, Z = z) = P(Z = z|X ∈ A)P(X ∈ A)
= P(Z = z|X ∈ A)
J
j=1
α(j)
A
γ m(j),v(j) (x) dx,
de sorte que si A est de la forme [x − ε, x + ε] avec ε tendant vers 0, alors on
obtient bien
α(z)γ m(z),v(z) (x) = P(Z = z|X = x)
J
j=1
α(j)γ m(j),v(j) (x).
8.2 Situation favorable mais irréaliste
On suppose dans cette section que l’on observe à la fois X et Z, c’est-à-dire
à la fois la taille du nid et l’espèce qui a fait le nid. Estimer les paramètres
inconnus est alors aisé grâce à la méthode du maximum de vraisemblance. La
log-vraisemblance du modèle complet (logarithme de la densité de la loi de
l’échantillon (X, Z) par rapport à la mesure (dλ ⊗ dN )
⊗n ) s’écrit
L(θ, X, Z) = log
n
i=1
h θ (X i , Z i )
=
n
i=1
log α(Z i ) + log γ m(Zi),v(Zi) (X i )
.
Pour un échantillon de taille n, notons, pour tout 1 j J,
A j = {i = 1, . . . , n, Z i = j} et C j = card(A j ).