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8 Algorithme EM et mélanges
avec α 1 > 0, . . . , α J > 0 et α 1 + · · · + α J = 1. Cette combinaison convexe
finie de densités de probabilité est appelée mélange fini
1 de populations. Si
X désigne la taille du nid et Z l’espèce de l’oiseau qui l’a construit, la loi du
couple (X, Z) est donnée de la manière suivante :
— la variable Z suit la loi discrète sur {1, . . . , J} de poids α(1), . . . , α(J) :
Loi(Z) =
J
j=1
α(j)δ j
— pour tout 1 j J, conditionnellement à {Z = j}, la variable X suit
la loi N (m(j), v(j)) :
Loi(X|Z = j) = N (m(j), v(j)).
Les paramètres (α j , m(j), v(j)) 1jJ sont inconnus. Le vecteur α représente
les coefficients du mélange tandis que les vecteurs m et v représentent respectivement les vecteurs des moyennes et des variances des lois gaussiennes. On
souhaite estimer toutes ces quantités à la seule vue de la taille de n nids. Pour
cela, on suppose qu’il existe θ dans l’ensemble
Θ =
θ = (α j , m j , σ
2
j ) 1jJ : α 1 > 0, . . . , α J > 0, α 1 + · · · + α J = 1
tel que les mesures x 1 , . . . , x n de la taille de n nids soient la réalisation d’un néchantillon X 1 , . . . , X n de loi de densité au point x de la loi de X par rapport
à la mesure de Lebesgue dλ de R
f θ (x) =
J
j=1
α(j)γ m(j),v(j) (x).
On note X le vecteur (X 1 , . . . , X n ) et Z le vecteur (Z 1 , . . . , Z n ). On note dN
la mesure de comptage sur N. On introduit les notations suivantes :
— densité au point (x, z) de la loi du couple (X, Z) par rapport à dλ⊗dN :
h θ (x, z) = α(z)γ m(z),v(z) (x), x ∈ R, z ∈ {1, . . . , J},
— densité au point x de la loi de X par rapport à dλ :
f θ (x) =
J
j=1
α(j)γ m(j),v(j) (x), x ∈ R,
— densité au point z de la loi de Z par rapport à la mesure dN :
g θ (z) = α(z), z ∈ {1, . . . , J},
1. «Finite mixture» en anglais.