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7 Chaînes de Markov cachées
M 0 = 0 et, pour n 1, M n = σ
2
n
k=1
X
2
k−1 .
À présent, on vérifie tout d’abord, en utilisant le fait que X est un processus
autorégressif d’ordre 1 AR(1) avec |a| < 1, que
M n
n
p.s.
−→
n→∞
σ
4
(1 − a 2 )
,
(on a en particulier M n → +∞ p.s. quand n → ∞), puis on utilise la loi des
grands nombres et le théorème limite central pour les martingales de carré
intégrable, qui donnent
M n
M n
p.s.
−→
n→∞
0 et
M n
M n
loi
−→
n→∞
N (0, 1).
7.3 Pour aller plus loin
L’algorithme de segmentation progressif-rétrograde remonte au moins aux
travaux des années 1960 de Leonard Baum et Lloyd Welch, et peut être vu
comme une instance du concept général de programmation dynamique. Les
chaînes de Markov cachées ont été utilisées notamment pour la reconnaissance de la parole dans les années 1970, et pour la génomique à partir des années 1980. Le livre de Stéphane Robin, François Rodolphe, et Sophie Schbath
[RRS05] propose une introduction accessible à l’utilisation des chaînes de Markov cachées en génomique. On peut également consulter à ce sujet le livre de
Étienne Pardoux [Par07]. Bien que les modèles utilisés en pratique soient
plus sophistiqués que celui présenté dans ce chapitre, notamment en ce qui
concerne les espaces d’état A et U, ils font appel aux mêmes concepts et outils.
Cependant en pratique, on ne connaît pas en général les matrices de transition ni même le nombre d’états cachés pertinent pour rendre compte de la
loi de la séquence, et il faut donc construire des algorithmes qui permettent
en plus d’estimer ces paramètres de complexité. On pourra également consulter le livre de Jean-François Delmas et Benjamin Jourdain [DJ06] à ce sujet.
D’autre part, il est possible de tester si une suite aléatoire est markovienne ou
pas en utilisant par exemple N
i et N
ij et le test du χ
2 , comme expliqué par
exemple dans le livre de Didier Dacunha-Castelle et Marie Duflo [DCD83].
La partie sur le filtre de Kalman est inspirée du livre de David Williams
[Wil91]. Le filtre de Kalman, présenté ici dans une version simple, est un
grand classique de la théorie du signal, développé dès les années 1960 par
Thorvald Thiele et Peter Swerling, et par Rudolf Kalman et Richard Bucy,
notamment pour les besoins du programme Apollo de la National Aeronautics
and Space Administration. On trouvera dans [Par07] l’expression du filtre de
7 Chaînes de Markov cachées
M 0 = 0 et, pour n 1, M n = σ
2
n
k=1
X
2
k−1 .
À présent, on vérifie tout d’abord, en utilisant le fait que X est un processus
autorégressif d’ordre 1 AR(1) avec |a| < 1, que
M n
n
p.s.
−→
n→∞
σ
4
(1 − a 2 )
,
(on a en particulier M n → +∞ p.s. quand n → ∞), puis on utilise la loi des
grands nombres et le théorème limite central pour les martingales de carré
intégrable, qui donnent
M n
M n
p.s.
−→
n→∞
0 et
M n
M n
loi
−→
n→∞
N (0, 1).
7.3 Pour aller plus loin
L’algorithme de segmentation progressif-rétrograde remonte au moins aux
travaux des années 1960 de Leonard Baum et Lloyd Welch, et peut être vu
comme une instance du concept général de programmation dynamique. Les
chaînes de Markov cachées ont été utilisées notamment pour la reconnaissance de la parole dans les années 1970, et pour la génomique à partir des années 1980. Le livre de Stéphane Robin, François Rodolphe, et Sophie Schbath
[RRS05] propose une introduction accessible à l’utilisation des chaînes de Markov cachées en génomique. On peut également consulter à ce sujet le livre de
Étienne Pardoux [Par07]. Bien que les modèles utilisés en pratique soient
plus sophistiqués que celui présenté dans ce chapitre, notamment en ce qui
concerne les espaces d’état A et U, ils font appel aux mêmes concepts et outils.
Cependant en pratique, on ne connaît pas en général les matrices de transition ni même le nombre d’états cachés pertinent pour rendre compte de la
loi de la séquence, et il faut donc construire des algorithmes qui permettent
en plus d’estimer ces paramètres de complexité. On pourra également consulter le livre de Jean-François Delmas et Benjamin Jourdain [DJ06] à ce sujet.
D’autre part, il est possible de tester si une suite aléatoire est markovienne ou
pas en utilisant par exemple N
i et N
ij et le test du χ
2 , comme expliqué par
exemple dans le livre de Didier Dacunha-Castelle et Marie Duflo [DCD83].
La partie sur le filtre de Kalman est inspirée du livre de David Williams
[Wil91]. Le filtre de Kalman, présenté ici dans une version simple, est un
grand classique de la théorie du signal, développé dès les années 1960 par
Thorvald Thiele et Peter Swerling, et par Rudolf Kalman et Richard Bucy,
notamment pour les besoins du programme Apollo de la National Aeronautics
and Space Administration. On trouvera dans [Par07] l’expression du filtre de