7.2 Filtre de Kalman
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Remarque 7.6 (Gain suite aux observations). La majoration
P n = E
(X n − ˆ
X n )
2
E
(X n − Y n )
2
= τ
2 ,
peu surprenante connaissant les propriétés de l’espérance conditionnelle, souligne bien que l’on gagne effectivement à utiliser toutes les observations
Y 0 , . . . , Y n plutôt que de se contenter de la dernière Y n .
Estimation de certains paramètres du modèle
On suppose dans cette section qu’on observe les positions de l’avion sans
erreurs, c’est-à-dire qu’on a accès à la suite (X i ) 1in . On souhaite estimer
les coefficients a et σ
2 . La question n’est pas complètement évidente car les
observations ne sont pas indépendantes.
Lemme 7.7 (Estimateur de maximum de vraisemblance). L’estimateur de
maximum de vraisemblance (ˆ a, ˆ
σ) de (a, σ) est donné par
ˆ
a n =
n
k=1 X k−1 X k
n
k=1 X 2
k−1
et ˆ
σ
2
n =
1
n
n
k=1
(X k − ˆ
a n X k−1 )
2 .
Démonstration. Il suffit de maximiser le logarithme de la vraisemblance donnée par
L (X1,...,Xn) (a, σ) =
1
(2πσ 2 ) n/2
n
k=1
exp
−
(X k − aX k−1 )
2
2σ 2
.
Théorème 7.8 (Convergence et normalité). Si −1 < a < 1 alors
(ˆ a n , ˆ
σ n )
p.s.
−→
n→∞
(a, σ),
et
√
n(ˆ a − a)
loi
−→
n→∞
N (0, 1 − a
2 ), et
√
n
ˆ
σ
2
− σ
2
loi
−→
n→∞
N (0, 2σ
4 ).
Démonstration. On se contente d’établir les résultats sur ˆ
a, en supposant σ
connu et fixé. On réécrit ˆ
a n de la manière suivante :
ˆ
a n = a +
n
k=1 X k−1 W k
n
k=1 X 2
k−1
= a +
M n
n
k=1 X k−1
où M n =
n
k=1 X k−1 W k , avec M 0 = 0. La suite (M n ) n0 est une martingale
par rapport à la filtration (F n ) n naturelle de W , de processus croissant