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7 Chaînes de Markov cachées
indépendantes (W i ) 0in et (V i ) 0in . En particulier, pour tout n 0,
(X n , Y 0 , . . . , Y n ) est aussi un vecteur gaussien. De plus, la loi de X n sachant
(Y 0 , . . . , Y n ) est une loi gaussienne, dont on note la moyenne ˆ
X n et la variance
P n . On se propose de calculer ces quantités par récurrence. Comme pour les
chaînes de Markov à espace d’états fini de la première partie du chapitre,
la récurrence se fait en deux étapes. L’étape de prédiction consiste à exprimer la loi Loi(X n | Y 0 , . . . , Y n−1 ) en fonction de Loi(X n−1 | Y 0 , . . . , Y n−1 ). Puis,
dans l’étape de filtrage, on prend en compte l’observation Y n pour exprimer
Loi(X n | Y 0 , . . . , Y n ) en fonction de Loi(X n | Y 0 , . . . , Y n−1 ).
Lemme 7.5 (Lois conditionnelles). On a
Loi(X n | Y 0 , . . . , Y n ) = N ( ˆ
X n , P n )
où
ˆ
X n = a ˆ
X n−1 +
P n
τ 2 (Y n − a ˆ
X n−1 ) et P n =
a
2 τ
2 P n−1 + σ
2 τ
2
a 2 P n−1 + σ 2 + τ 2 .
Démonstration. Tout d’abord, on rappelle le résultat suivant sur les vecteurs
gaussiens, que nous appelons formule de Bayes : si (X, Y 0 , . . . , Y n−1 ) est un
vecteur gaussien dans R
n+1 avec
Loi(X | Y 0 , . . . , Y n−1 ) = N (μ, γ
2 ) et Loi(Y | Y 0 , . . . , Y n−1 , X) = N (X, δ
2 )
alors
Loi(X | Y 0 , . . . , Y n−1 , Y ) = N
ρ
2
μ
γ 2 +
Y
δ 2
, ρ
2
où
1
ρ 2 :=
1
γ 2 +
1
δ 2 .
À présent, et comme annoncé, on procède par récurrence, en deux étapes.
— Initialisation. Puisque Y 0 = X 0 + V 0 , on a Loi(Y 0 | X 0 ) = N (X 0 , τ
2 ).
La formule de Bayes assure que Loi(X 0 | Y 0 ) = N ( ˆ
X 0 , P 0 ) où
ˆ
X 0 =
σ
2
σ 2 + τ 2 Y 0 et P 0 =
σ
2 τ
2
σ 2 + τ 2 .
— Prédiction. On a Loi(X n−1 | Y 0 , . . . , Y n−1 ) = N ( ˆ
X n−1 , P n−1 ), et grâce
au modèle,
Loi(X n | Y 0 , . . . , Y n−1 ) = N (a ˆ
X n−1 , a
2 P n−1 + σ
2 ).
— Filtrage. D’après le modèle à nouveau, il vient
Loi(Y n | Y 0 , . . . , Y n−1 , X n ) = N (X n , τ
2 ).
On applique alors la formule de Bayes pour inverser le conditionnement
entre Y n et X n : la loi Loi(X n | Y 0 , . . . , Y n ) = N ( ˆ
X n , P n ) avec
1
P n
=
1
a 2 P n−1 + σ 2 +
1
τ 2 et ˆ
X n = P n
a ˆ
X n−1
a 2 P n−1 + σ 2 +
Y n
τ 2
.
7 Chaînes de Markov cachées
indépendantes (W i ) 0in et (V i ) 0in . En particulier, pour tout n 0,
(X n , Y 0 , . . . , Y n ) est aussi un vecteur gaussien. De plus, la loi de X n sachant
(Y 0 , . . . , Y n ) est une loi gaussienne, dont on note la moyenne ˆ
X n et la variance
P n . On se propose de calculer ces quantités par récurrence. Comme pour les
chaînes de Markov à espace d’états fini de la première partie du chapitre,
la récurrence se fait en deux étapes. L’étape de prédiction consiste à exprimer la loi Loi(X n | Y 0 , . . . , Y n−1 ) en fonction de Loi(X n−1 | Y 0 , . . . , Y n−1 ). Puis,
dans l’étape de filtrage, on prend en compte l’observation Y n pour exprimer
Loi(X n | Y 0 , . . . , Y n ) en fonction de Loi(X n | Y 0 , . . . , Y n−1 ).
Lemme 7.5 (Lois conditionnelles). On a
Loi(X n | Y 0 , . . . , Y n ) = N ( ˆ
X n , P n )
où
ˆ
X n = a ˆ
X n−1 +
P n
τ 2 (Y n − a ˆ
X n−1 ) et P n =
a
2 τ
2 P n−1 + σ
2 τ
2
a 2 P n−1 + σ 2 + τ 2 .
Démonstration. Tout d’abord, on rappelle le résultat suivant sur les vecteurs
gaussiens, que nous appelons formule de Bayes : si (X, Y 0 , . . . , Y n−1 ) est un
vecteur gaussien dans R
n+1 avec
Loi(X | Y 0 , . . . , Y n−1 ) = N (μ, γ
2 ) et Loi(Y | Y 0 , . . . , Y n−1 , X) = N (X, δ
2 )
alors
Loi(X | Y 0 , . . . , Y n−1 , Y ) = N
ρ
2
μ
γ 2 +
Y
δ 2
, ρ
2
où
1
ρ 2 :=
1
γ 2 +
1
δ 2 .
À présent, et comme annoncé, on procède par récurrence, en deux étapes.
— Initialisation. Puisque Y 0 = X 0 + V 0 , on a Loi(Y 0 | X 0 ) = N (X 0 , τ
2 ).
La formule de Bayes assure que Loi(X 0 | Y 0 ) = N ( ˆ
X 0 , P 0 ) où
ˆ
X 0 =
σ
2
σ 2 + τ 2 Y 0 et P 0 =
σ
2 τ
2
σ 2 + τ 2 .
— Prédiction. On a Loi(X n−1 | Y 0 , . . . , Y n−1 ) = N ( ˆ
X n−1 , P n−1 ), et grâce
au modèle,
Loi(X n | Y 0 , . . . , Y n−1 ) = N (a ˆ
X n−1 , a
2 P n−1 + σ
2 ).
— Filtrage. D’après le modèle à nouveau, il vient
Loi(Y n | Y 0 , . . . , Y n−1 , X n ) = N (X n , τ
2 ).
On applique alors la formule de Bayes pour inverser le conditionnement
entre Y n et X n : la loi Loi(X n | Y 0 , . . . , Y n ) = N ( ˆ
X n , P n ) avec
1
P n
=
1
a 2 P n−1 + σ 2 +
1
τ 2 et ˆ
X n = P n
a ˆ
X n−1
a 2 P n−1 + σ 2 +
Y n
τ 2
.