7.2 Filtre de Kalman
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7.2 Filtre de Kalman
Un avion se déplace entre Paris et Londres, en tentant de suivre une trajectoire théorique définie par le plan de vol. L’avion est surveillé au sol par des
contrôleurs aériens grâce à un radar qui reçoit un écho de l’avion à intervalles
réguliers. La trajectoire effective de l’avion s’écarte de la trajectoire théorique
pour de multiples raisons (météorologie, imprécision du pilote automatique,
turbulences,. . . ). On cherche donc à localiser l’avion au cours de son vol à
partir des observations radars successives.
On note X n l’écart (inconnu) entre la trajectoire théorique et la position
de l’avion au temps n. De plus, on note Y n la mesure donnée par le radar au
temps n. Cette mesure est entachée d’erreurs à cause de l’imprécision du radar.
Le problème qui se pose à l’aiguilleur est d’estimer au mieux la position de
l’avion au temps n au vu des observations Y 0 , . . . , Y n . Pour simplifier l’étude,
on supposera que l’objet observé évolue dans un espace de dimension 1. On
modélise les suites aléatoires (X n ) n0 et (Y n ) n0 en posant
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
X 0 = W 0 ,
X n = aX n−1 + W n n 1,
Y n = X n + V n
n 0,
où a est un nombre réel déterministe, et où (V n ) n0 et (W n ) n0 sont des
suites aléatoires indépendantes, avec (V n ) n0 i.i.d. de loi gaussienne N (0, τ
2 )
et (W n ) n0 i.i.d. de loi gaussienne N (0, σ
2 ). Les variables aléatoires (W n ) n0
représentent les fluctuations instantanées de l’écart entre position théorique
et position réelle. Les variables aléatoires (V n ) n𨐾0 modélisent les erreurs de
mesure du radar. Le paramètre a modélise l’action du pilote.
En théorie du signal, on dit que (X n ) n0 est un processus autorégressif
d’ordre 1, noté AR(1), à bruit gaussien, et on a
X n =
n
k=0
a
k W n−k =
n
k=0
a
n−k W k , n ∈ N.
À présent, le problème est d’estimer X n sachant les observations Y 0 , . . . , Y n .
Le candidat naturel est l’espérance conditionnelle E(X n | Y 0 , . . . , Y n ) puisque
c’est la fonction des observations qui est la plus proche de X n dans L
2
(moindre carrés). Or le caractère gaussien du modèle permet, grâce aux propriétés des vecteurs gaussiens, de calculer explicitement la loi conditionnelle
Loi(X n | Y 0 , . . . , Y n ), en particulier sa moyenne qui est E(X n | Y 0 , . . . , Y n ).
La première remarque importante est que pour tout n 1,
(X 0 , . . . , X n , Y 0 , . . . , Y n )
est un vecteur aléatoire gaussien puisque toute combinaison linéaire de ses coordonnées est une combinaison linéaire des variables aléatoires gaussiennes
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7.2 Filtre de Kalman
Un avion se déplace entre Paris et Londres, en tentant de suivre une trajectoire théorique définie par le plan de vol. L’avion est surveillé au sol par des
contrôleurs aériens grâce à un radar qui reçoit un écho de l’avion à intervalles
réguliers. La trajectoire effective de l’avion s’écarte de la trajectoire théorique
pour de multiples raisons (météorologie, imprécision du pilote automatique,
turbulences,. . . ). On cherche donc à localiser l’avion au cours de son vol à
partir des observations radars successives.
On note X n l’écart (inconnu) entre la trajectoire théorique et la position
de l’avion au temps n. De plus, on note Y n la mesure donnée par le radar au
temps n. Cette mesure est entachée d’erreurs à cause de l’imprécision du radar.
Le problème qui se pose à l’aiguilleur est d’estimer au mieux la position de
l’avion au temps n au vu des observations Y 0 , . . . , Y n . Pour simplifier l’étude,
on supposera que l’objet observé évolue dans un espace de dimension 1. On
modélise les suites aléatoires (X n ) n0 et (Y n ) n0 en posant
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
X 0 = W 0 ,
X n = aX n−1 + W n n 1,
Y n = X n + V n
n 0,
où a est un nombre réel déterministe, et où (V n ) n0 et (W n ) n0 sont des
suites aléatoires indépendantes, avec (V n ) n0 i.i.d. de loi gaussienne N (0, τ
2 )
et (W n ) n0 i.i.d. de loi gaussienne N (0, σ
2 ). Les variables aléatoires (W n ) n0
représentent les fluctuations instantanées de l’écart entre position théorique
et position réelle. Les variables aléatoires (V n ) n𨐾0 modélisent les erreurs de
mesure du radar. Le paramètre a modélise l’action du pilote.
En théorie du signal, on dit que (X n ) n0 est un processus autorégressif
d’ordre 1, noté AR(1), à bruit gaussien, et on a
X n =
n
k=0
a
k W n−k =
n
k=0
a
n−k W k , n ∈ N.
À présent, le problème est d’estimer X n sachant les observations Y 0 , . . . , Y n .
Le candidat naturel est l’espérance conditionnelle E(X n | Y 0 , . . . , Y n ) puisque
c’est la fonction des observations qui est la plus proche de X n dans L
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(moindre carrés). Or le caractère gaussien du modèle permet, grâce aux propriétés des vecteurs gaussiens, de calculer explicitement la loi conditionnelle
Loi(X n | Y 0 , . . . , Y n ), en particulier sa moyenne qui est E(X n | Y 0 , . . . , Y n ).
La première remarque importante est que pour tout n 1,
(X 0 , . . . , X n , Y 0 , . . . , Y n )
est un vecteur aléatoire gaussien puisque toute combinaison linéaire de ses coordonnées est une combinaison linéaire des variables aléatoires gaussiennes