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Chaînes de Markov cachées
Mots-clés. estimation paramétrique ; estimation récursive ; variable cachée ; espérance conditionnelle ; processus autorégressif.
Outils. Chaîne de Markov ; vecteur gaussien ; martingales ; maximum de
vraisemblance ; formule de Bayes.
Difficulté. *
Bien que markoviens, de nombreux processus réels ne sont observés que
partiellement. Ce chapitre présente deux modèles de chaînes de Markov cachées, qui sont par définition des projections de chaînes de Markov. Le défi
mathématique est alors d’obtenir à partir des observations partielles le plus
d’informations possible sur la partie cachée. Il se ramène à un problème de
calcul de lois conditionnelles. Il n’est en général pas possible de calculer explicitement ces lois. C’est cependant le cas dans les deux exemples présentés
dans ce chapitre : l’un s’appuie sur les chaînes de Markov à espace d’états fini,
l’autre sur un modèle gaussien.
7.1 Algorithme progressif-rétrograde
On modélise la structure d’un brin d’ADN
1 par une chaîne de caractères
écrite dans un alphabet fini A. Certaines parties de la chaîne correspondent à
la suite des codes des acides aminés nécessaires à la fabrication d’une protéine,
et on dit qu’elles sont codantes, tandis que d’autres parties de la chaîne ne
le sont pas. Pour tenir compte de cette structure segmentée, on modélise la
chaîne par une trajectoire de chaîne de Markov possédant deux régimes.
À un brin d’ADN de longueur l, noté (X 1 , . . . , X l ), et à valeurs dans A,
on adjoint le l-uplet (U 1 , . . . , U l ), à valeurs dans U = {0, 1}. Si la position
1. Acide DésoxyriboNucléique, vecteur du code génétique des organismes vivants.
93
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_7
Chaînes de Markov cachées
Mots-clés. estimation paramétrique ; estimation récursive ; variable cachée ; espérance conditionnelle ; processus autorégressif.
Outils. Chaîne de Markov ; vecteur gaussien ; martingales ; maximum de
vraisemblance ; formule de Bayes.
Difficulté. *
Bien que markoviens, de nombreux processus réels ne sont observés que
partiellement. Ce chapitre présente deux modèles de chaînes de Markov cachées, qui sont par définition des projections de chaînes de Markov. Le défi
mathématique est alors d’obtenir à partir des observations partielles le plus
d’informations possible sur la partie cachée. Il se ramène à un problème de
calcul de lois conditionnelles. Il n’est en général pas possible de calculer explicitement ces lois. C’est cependant le cas dans les deux exemples présentés
dans ce chapitre : l’un s’appuie sur les chaînes de Markov à espace d’états fini,
l’autre sur un modèle gaussien.
7.1 Algorithme progressif-rétrograde
On modélise la structure d’un brin d’ADN
1 par une chaîne de caractères
écrite dans un alphabet fini A. Certaines parties de la chaîne correspondent à
la suite des codes des acides aminés nécessaires à la fabrication d’une protéine,
et on dit qu’elles sont codantes, tandis que d’autres parties de la chaîne ne
le sont pas. Pour tenir compte de cette structure segmentée, on modélise la
chaîne par une trajectoire de chaîne de Markov possédant deux régimes.
À un brin d’ADN de longueur l, noté (X 1 , . . . , X l ), et à valeurs dans A,
on adjoint le l-uplet (U 1 , . . . , U l ), à valeurs dans U = {0, 1}. Si la position
1. Acide DésoxyriboNucléique, vecteur du code génétique des organismes vivants.
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016
D. Chafaï and F. Malrieu, Recueil de Modèles Aléatoires,
Mathématiques et Applications 78, DOI 10.1007/978-3-662-49768-5_7