6.7 Pour aller plus loin
91
— pour d = 2 :
lim sup
n→∞
δ I (n)
log(n)
β 2 et lim sup
n→∞
δ E (n)
log(n)
β 2 .
6.7 Pour aller plus loin
Le modèle d’agrégation limitée par diffusion interne
2 est considéré par
Persi Diaconis et William Fulton dans [DF91]. Sur le versant de la modélisation, il peut être relié à des méthodes de polissage chimique : des particules
sont lâchées dans une cuve et détruisent un élément du bord rendant la cuve
plus lisse. On trouvera dans les articles [AG13a, AG13b] d’Amine Asselah et
d’Alexandre Gaudillière des références dans cette direction.
L’une des première études de (A(n)) n0 est due à Maury Bramson, David
Griffeath et Gregory Lawler dans [LBG92]. Il y est notamment établi que la
forme asymptotique de A(n) est sphérique. Il faudra attendre longtemps pour
avoir une étude complète pour les fluctuations autour de cette forme limite.
On pourra retrouver le théorème 6.11 dans les articles de David Jerison, Lionel
Levin, et Scott Scheffied [JLS12, JLS13] et dans [AG13a, AG13b].
Le modèle en dimension 1 peut être relié à un modèle de boules et d’urnes
dit de Bernard Friedman décrit dans l’article [Fre65] de David Freedman
3 .
Une boule tirée est remise dans l’urne accompagnée de α boules de la même
couleur et β boules de la couleur opposée. Si β = 0, on retrouve le modèle de
l’urne de Pólya étudié dans le chapitre 15. Lorsque β > 0, on peut montrer
que la proportion asymptotique de chaque couleur tend vers 1/2 pour tout α.
Il existe également un modèle plus difficile à étudier, connu sous le nom de
agrégation limitée par diffusion externe, dans lequel les particules proviennent
de l’infini et viennent s’agglutiner au fil du temps.
Le théorème limite central pour les martingales 6.8 se trouve dans le livre
de Peter Hall et Christopher Heyde [HH80, Cor. 3.1], et dans [BC07, Th. 3.35].
2. «Internal Diffusion Limited Agregation» (IDLA) en anglais.
3. fried-man = freed-man !
91
— pour d = 2 :
lim sup
n→∞
δ I (n)
log(n)
β 2 et lim sup
n→∞
δ E (n)
log(n)
β 2 .
6.7 Pour aller plus loin
Le modèle d’agrégation limitée par diffusion interne
2 est considéré par
Persi Diaconis et William Fulton dans [DF91]. Sur le versant de la modélisation, il peut être relié à des méthodes de polissage chimique : des particules
sont lâchées dans une cuve et détruisent un élément du bord rendant la cuve
plus lisse. On trouvera dans les articles [AG13a, AG13b] d’Amine Asselah et
d’Alexandre Gaudillière des références dans cette direction.
L’une des première études de (A(n)) n0 est due à Maury Bramson, David
Griffeath et Gregory Lawler dans [LBG92]. Il y est notamment établi que la
forme asymptotique de A(n) est sphérique. Il faudra attendre longtemps pour
avoir une étude complète pour les fluctuations autour de cette forme limite.
On pourra retrouver le théorème 6.11 dans les articles de David Jerison, Lionel
Levin, et Scott Scheffied [JLS12, JLS13] et dans [AG13a, AG13b].
Le modèle en dimension 1 peut être relié à un modèle de boules et d’urnes
dit de Bernard Friedman décrit dans l’article [Fre65] de David Freedman
3 .
Une boule tirée est remise dans l’urne accompagnée de α boules de la même
couleur et β boules de la couleur opposée. Si β = 0, on retrouve le modèle de
l’urne de Pólya étudié dans le chapitre 15. Lorsque β > 0, on peut montrer
que la proportion asymptotique de chaque couleur tend vers 1/2 pour tout α.
Il existe également un modèle plus difficile à étudier, connu sous le nom de
agrégation limitée par diffusion externe, dans lequel les particules proviennent
de l’infini et viennent s’agglutiner au fil du temps.
Le théorème limite central pour les martingales 6.8 se trouve dans le livre
de Peter Hall et Christopher Heyde [HH80, Cor. 3.1], et dans [BC07, Th. 3.35].
2. «Internal Diffusion Limited Agregation» (IDLA) en anglais.
3. fried-man = freed-man !