90
6 Agrégation limitée par diffusion interne
−20
−10
0
10
20
−20
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
Fig. 6.1. Une réalisation de A(1000) en dimension 2.
sup {r 0 : B(0, r) ⊂ A(|B(0, n)|)}
tandis que celui de la plus petite boule qui le contient est
inf {r 0 : A(|B(0, n)|) ⊂ B(0, r)}
On définit alors l’erreur interne δ I (n) comme
n − δ I (n) = sup {r 0 : B(0, r) ⊂ A(|B(0, n)|)},
et l’erreur externe δ E (n) comme
n + δ E (n) = inf {r 0 : A(|B(0, n)|) ⊂ B(0, r)}.
Le théorème suivant montre non seulement que la forme asymptotique de
A(n) est sphérique mais fournit également une borne supérieure pour les fluctuations extrêmes de A(n).
Théorème 6.11 (Forme et fluctuation). La forme limite de (A n ) n0 est la
trace sur Z
d d’une boule euclidienne. De plus, il existe une constante β d telle
que presque sûrement
— pour d 𨐾 3 :
lim sup
n→∞
δ I (n)
log(n)
β d et lim sup
n→∞
δ E (n)
log(n)
β d ,