I.3. Levi et image du transfert
71
[59], on obtient
du
∗ (σ, σ) =
α>0
ˇ
α(−1),
où le produit est pris sur toutes les racines de T dans G qui sont positives pour B.
Il est d’usage de noter 2ˇ ρ la somme
α>0 ˇ
α. On prendra garde à cette notation : ˇ
ρ
n’est pas forcément une somme de coracines à coefficients entiers, mais seulement
à coefficients demi-entiers. En tout cas, ˇ
ρ appartient à X ∗ (T ad ) car on sait que
α, ˇ
ρ = 1 pour tout α ∈ Δ. On peut écrire de façon unique 2ˇ ρ comme somme
d’un élément de 2X ∗ (T sc ) et d’un élément
ˇ =
α∈Δ
α ˇ
α,
avec des coefficients α égaux à 0 ou 1. On obtient du
∗ (σ, σ) = (2ˇ ρ)(−1) = ˇ
(−1).
Rappelons comment on identifie un élément de H
2 (Γ R ; Z(G SC )) à un caractère de Z( ˆ
G SC )
Γ R . Tout d’abord, fixons un entier N ≥ 1 tel que N X ∗ (T ad ) ⊂
X ∗ (T sc ) et une racine primitive d’ordre N de l’unité ζ ∈ C
× . L’application x ∗ →
(N x ∗ )(ζ) définie sur X ∗ (T ad ) se quotiente en un isomorphisme
X ∗ (T ad )/X ∗ (T sc ) Z(G SC ).
Il n’est pas équivariant par l’action galoisienne : puisque σ(ζ) = ζ
−1 , l’isomorphisme transporte l’action de σ en l’opposé de cette action.
Un élément de H
2 (Γ R ; Z(G SC )) peut toujours se représenter par une cochaîne
v vérifiant comme ci-dessus v(1, 1) = v(1, σ) = v(σ, 1) = 1. L’élément v = v(σ, σ)
vérifie v = σ(v) = 1 (par la condition de cocycle) et s’identifie donc à un élément x ∈ X ∗ (T ad )/X ∗ (T sc ) tel que xσ(x) = 1. On voit que x est uniquement
déterminé par la classe de v modulo un élément de la forme yσ(y)
−1 . Puisque
X ∗ (T ad ) est le dual de X ∗ ( ˆ
T sc ) et X ∗ (T sc ) est le dual de X ∗ ( ˆ
T ad ), les deux groupes
X ∗ (T ad )/X ∗ (T sc ) et X ∗ ( ˆ
T ad )/X ∗ ( ˆ
T sc ) Z( ˆ
G SC ) sont duaux. Donc x définit un
caractère de Z( ˆ
G SC ). La restriction de ce caractère au sous-groupe Z( ˆ
G SC )
Γ R ne
change pas si on multiplie x par un élément de la forme yσ(y)
−1 . Cette restriction
ne dépend donc que de v. C’est le caractère associé à v.
Appliquée à du
∗ , cette construction nous dit que le caractère χ K ˜
G s’identifie
au caractère de X ∗ ( ˆ
T ad )/X ∗ ( ˆ
T sc ) associé à l’élément ˇ
ρ ∈ X ∗ (T ad ). Par définition,
l’ensemble Δ min est alors la réunion de
– l’ensemble des α ∈ Δ tels que σ G ∗ (α) = α et α , ˇ
ρ ∈ Z ;
– l’ensemble des α ∈ Δ tels que σ G ∗ (α) = α et α , ˇ
ρ + σ G ∗ ( α ), ˇ
ρ ∈ Z.
L’élément ˇ
ρ est invariant par l’action galoisienne et son produit avec tout
élément α appartient à
1
2 Z. Le second ensemble ci-dessus est donc vide. D’autre
part la condition α , ˇ
ρ ∈ Z équivaut à α = 1. On obtient que Δ min est formé
71
[59], on obtient
du
∗ (σ, σ) =
α>0
ˇ
α(−1),
où le produit est pris sur toutes les racines de T dans G qui sont positives pour B.
Il est d’usage de noter 2ˇ ρ la somme
α>0 ˇ
α. On prendra garde à cette notation : ˇ
ρ
n’est pas forcément une somme de coracines à coefficients entiers, mais seulement
à coefficients demi-entiers. En tout cas, ˇ
ρ appartient à X ∗ (T ad ) car on sait que
α, ˇ
ρ = 1 pour tout α ∈ Δ. On peut écrire de façon unique 2ˇ ρ comme somme
d’un élément de 2X ∗ (T sc ) et d’un élément
ˇ =
α∈Δ
α ˇ
α,
avec des coefficients α égaux à 0 ou 1. On obtient du
∗ (σ, σ) = (2ˇ ρ)(−1) = ˇ
(−1).
Rappelons comment on identifie un élément de H
2 (Γ R ; Z(G SC )) à un caractère de Z( ˆ
G SC )
Γ R . Tout d’abord, fixons un entier N ≥ 1 tel que N X ∗ (T ad ) ⊂
X ∗ (T sc ) et une racine primitive d’ordre N de l’unité ζ ∈ C
× . L’application x ∗ →
(N x ∗ )(ζ) définie sur X ∗ (T ad ) se quotiente en un isomorphisme
X ∗ (T ad )/X ∗ (T sc ) Z(G SC ).
Il n’est pas équivariant par l’action galoisienne : puisque σ(ζ) = ζ
−1 , l’isomorphisme transporte l’action de σ en l’opposé de cette action.
Un élément de H
2 (Γ R ; Z(G SC )) peut toujours se représenter par une cochaîne
v vérifiant comme ci-dessus v(1, 1) = v(1, σ) = v(σ, 1) = 1. L’élément v = v(σ, σ)
vérifie v = σ(v) = 1 (par la condition de cocycle) et s’identifie donc à un élément x ∈ X ∗ (T ad )/X ∗ (T sc ) tel que xσ(x) = 1. On voit que x est uniquement
déterminé par la classe de v modulo un élément de la forme yσ(y)
−1 . Puisque
X ∗ (T ad ) est le dual de X ∗ ( ˆ
T sc ) et X ∗ (T sc ) est le dual de X ∗ ( ˆ
T ad ), les deux groupes
X ∗ (T ad )/X ∗ (T sc ) et X ∗ ( ˆ
T ad )/X ∗ ( ˆ
T sc ) Z( ˆ
G SC ) sont duaux. Donc x définit un
caractère de Z( ˆ
G SC ). La restriction de ce caractère au sous-groupe Z( ˆ
G SC )
Γ R ne
change pas si on multiplie x par un élément de la forme yσ(y)
−1 . Cette restriction
ne dépend donc que de v. C’est le caractère associé à v.
Appliquée à du
∗ , cette construction nous dit que le caractère χ K ˜
G s’identifie
au caractère de X ∗ ( ˆ
T ad )/X ∗ ( ˆ
T sc ) associé à l’élément ˇ
ρ ∈ X ∗ (T ad ). Par définition,
l’ensemble Δ min est alors la réunion de
– l’ensemble des α ∈ Δ tels que σ G ∗ (α) = α et α , ˇ
ρ ∈ Z ;
– l’ensemble des α ∈ Δ tels que σ G ∗ (α) = α et α , ˇ
ρ + σ G ∗ ( α ), ˇ
ρ ∈ Z.
L’élément ˇ
ρ est invariant par l’action galoisienne et son produit avec tout
élément α appartient à
1
2 Z. Le second ensemble ci-dessus est donc vide. D’autre
part la condition α , ˇ
ρ ∈ Z équivaut à α = 1. On obtient que Δ min est formé