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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
de W de plus grande longueur, que l’on note w. Introduisons la section de Springer
n : W → G SC , cf. [59] 2.1. A ce point, on a prouvé que l’on pouvait supposer
u
∗ (1) = 1, u
∗ (σ) = tn(w),
pour un élément t ∈ T sc . Soit α ∈ Δ. On dispose déjà de l’élément E α de l’épinglage. On introduit l’élément E −α de l’espace radiciel de g associé à −α, normalisé
de sorte que [E α , E −α ] = ˇ
α, en identifiant la coracine ˇ
α à un élément de t. Notons
G α le sous-groupe de G engendré par T et les sous-groupes radiciels associés à α
et −α. Puisque l’action galoisienne naturelle échange α et −α, ce groupe est défini
sur R. Puisque G est semi-simple et n’a pas de Levi propre, G(R) est compact,
donc aussi G α (R). Comme on le sait ([73] paragraphe 2), cela implique qu’il existe
des éléments c α , c −α ∈ C
× tels que [c −α E α , c α E α ] = ˇ
α et σ G (c α E α ) = −c −α E −α .
La première relation dit que c −α = c
−1
α .
Montrons que l’on a
(3)
ad n(w) ◦σ G ∗ (E α ) = −E −α .
On a ad n(w) ◦σ G ∗ (ˇ α) = − ˇ
α et il existe des nombres complexes non nuls x et y de
sorte que ad n(w) ◦σ G ∗ (E α ) = xE −α , ad n(w) ◦σ G ∗ (E −α ) = yE α . Ces trois relations
entraînent xy = 1. Notons s α la symétrie relative à α. Par définition,
n(s α ) = exp(X α ) exp(−X −α ) exp(X α ).
Un calcul matriciel entraîne l’égalité n(w)σ G ∗ (n(s α ))n(w)
−1 = ˇ
α(−x
−1 )n(s α ).
Mais le lemme 2.1.A de [59] entraîne n(w)n(s α )n(w)
−1 = n(s α ). D’où ˇ
α(−x
−1 ) =
1 et x = −1 puisque notre groupe est simplement connexe. Cela prouve (3).
Il résulte de (3) que σ G (c α E α ) = −α(t)
−1 c α E −α = −α(t)
−1 (c α c α )c −α E −α .
La condition de compacité nous dit donc que α(t) est un réel positif, et cela
pour tout α ∈ Δ. Cette propriété implique que l’on peut trouver un élément
t
=
α∈Δ ˇ
α(t α ), avec des t α réels positifs, tel que t
2 a même image que t dans
T ad . Notons que σ G (t
) = t
−1 . Donc t = ζt
σ G (t
)
−1 , avec ζ ∈ Z(G) = Z(G SC ).
Alors
u
∗ (σ) = ζt
σ G (t
)
−1 n(w) = ζt
n(w)σ G ∗ (t
)
−1 .
En remplaçant E par ad
−1
t (E), on fait disparaître le cobord et on obtient
u
∗ (σ) = ζn(w),
avec ζ ∈ Z(G SC ). Mais on peut toujours multiplier notre cochaîne par une cochaîne à valeurs dans Z(G SC ). Cela nous ramène au cas où u
∗ (1) = 1, u
∗ (σ) =
n(w). Calculons le cobord du
∗ . On a
du
∗ (1, 1) = du
∗ (σ, 1) = du
∗ (1, σ) = 1 et du
∗ (σ, σ) = n(w)σ G ∗ (n(w)).
L’élément w est invariant par l’action galoisienne et n est équivariant pour cette
action. Donc σ G ∗ (n(w)) = n(w). En appliquant de nouveau le lemme 2.1.A de
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
de W de plus grande longueur, que l’on note w. Introduisons la section de Springer
n : W → G SC , cf. [59] 2.1. A ce point, on a prouvé que l’on pouvait supposer
u
∗ (1) = 1, u
∗ (σ) = tn(w),
pour un élément t ∈ T sc . Soit α ∈ Δ. On dispose déjà de l’élément E α de l’épinglage. On introduit l’élément E −α de l’espace radiciel de g associé à −α, normalisé
de sorte que [E α , E −α ] = ˇ
α, en identifiant la coracine ˇ
α à un élément de t. Notons
G α le sous-groupe de G engendré par T et les sous-groupes radiciels associés à α
et −α. Puisque l’action galoisienne naturelle échange α et −α, ce groupe est défini
sur R. Puisque G est semi-simple et n’a pas de Levi propre, G(R) est compact,
donc aussi G α (R). Comme on le sait ([73] paragraphe 2), cela implique qu’il existe
des éléments c α , c −α ∈ C
× tels que [c −α E α , c α E α ] = ˇ
α et σ G (c α E α ) = −c −α E −α .
La première relation dit que c −α = c
−1
α .
Montrons que l’on a
(3)
ad n(w) ◦σ G ∗ (E α ) = −E −α .
On a ad n(w) ◦σ G ∗ (ˇ α) = − ˇ
α et il existe des nombres complexes non nuls x et y de
sorte que ad n(w) ◦σ G ∗ (E α ) = xE −α , ad n(w) ◦σ G ∗ (E −α ) = yE α . Ces trois relations
entraînent xy = 1. Notons s α la symétrie relative à α. Par définition,
n(s α ) = exp(X α ) exp(−X −α ) exp(X α ).
Un calcul matriciel entraîne l’égalité n(w)σ G ∗ (n(s α ))n(w)
−1 = ˇ
α(−x
−1 )n(s α ).
Mais le lemme 2.1.A de [59] entraîne n(w)n(s α )n(w)
−1 = n(s α ). D’où ˇ
α(−x
−1 ) =
1 et x = −1 puisque notre groupe est simplement connexe. Cela prouve (3).
Il résulte de (3) que σ G (c α E α ) = −α(t)
−1 c α E −α = −α(t)
−1 (c α c α )c −α E −α .
La condition de compacité nous dit donc que α(t) est un réel positif, et cela
pour tout α ∈ Δ. Cette propriété implique que l’on peut trouver un élément
t
=
α∈Δ ˇ
α(t α ), avec des t α réels positifs, tel que t
2 a même image que t dans
T ad . Notons que σ G (t
) = t
−1 . Donc t = ζt
σ G (t
)
−1 , avec ζ ∈ Z(G) = Z(G SC ).
Alors
u
∗ (σ) = ζt
σ G (t
)
−1 n(w) = ζt
n(w)σ G ∗ (t
)
−1 .
En remplaçant E par ad
−1
t (E), on fait disparaître le cobord et on obtient
u
∗ (σ) = ζn(w),
avec ζ ∈ Z(G SC ). Mais on peut toujours multiplier notre cochaîne par une cochaîne à valeurs dans Z(G SC ). Cela nous ramène au cas où u
∗ (1) = 1, u
∗ (σ) =
n(w). Calculons le cobord du
∗ . On a
du
∗ (1, 1) = du
∗ (σ, 1) = du
∗ (1, σ) = 1 et du
∗ (σ, σ) = n(w)σ G ∗ (n(w)).
L’élément w est invariant par l’action galoisienne et n est équivariant pour cette
action. Donc σ G ∗ (n(w)) = n(w). En appliquant de nouveau le lemme 2.1.A de