I.3. Levi et image du transfert
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Le caractère χ K ˜
G est composé de χ et de la flèche du haut tandis que χ K ˜
L est
composé de χ et de la flèche du bas. Cela nous ramène à prouver que, pour α ∈ Δ
L ,
les images dans Z( ˆ
L sc )
Γ R /Z( ˆ
L sc )
Γ R ,0 de
Γ R
α et de
L,Γ R
α
sont égales. Ecrivons
Γ R
α ∈ X ∗ ( ˆ
T ad ) sous la forme
1
N (x ∗ + y ∗ ), où N est un entier strictement positif,
x ∗ ∈ X ∗ (Z( ˆ
L sc )
0 ) et y ∗ ∈ X ∗ ( ˆ
T
L
sc ). Ici ˆ
T
L
sc est l’image réciproque de ˆ
T dans ˆ
L SC .
Le groupe X ∗ ( ˆ
T
L
sc ) est engendré par les éléments de Δ
L (un élément β ∈ Δ étant
identifié à la coracine associée à ˆ
β ∈ ˆ
Δ). Il résulte des définitions que
L,Γ R
α
=
1
N y ∗
et que x ∗ est invariant par Γ R . Par définition, l’élément de Z( ˆ
G SC ) correspondant
à
Γ R
α est x ∗ (ζ)y ∗ (ζ), où ζ = e
2πi/N tandis que l’élément de Z( ˆ
L SC ) correspondant
à
L,Γ R
α
est y
∗ (ζ). Quand on pousse ces éléments dans Z( ˆ
L sc ), ces deux éléments
diffèrent par x ∗ (ζ), qui appartient à Z( ˆ
L sc )
Γ R ,0 . Cela prouve (2) et (1).
On suppose désormais que K ˜
G n’a pas d’autre espace de Levi que lui-même.
Remarquons qu’il revient au même de supposer que, pour chaque composante ˜
G,
le groupe G lui-même n’a pas de groupe de Levi propre. On a vu en effet qu’un
groupe de Levi minimal donnait naissance à un espace de Levi. Remarquons aussi
que, sous notre hypothèse, la propriété à prouver est l’égalité Δ min = Δ.
Montrons maintenant que l’on peut supposer que G est simplement connexe.
En effet, fixons une composante ˜
G de K ˜
G et un élément γ ∈ ˜
G(R). L’automorphisme ad γ se relève en un automorphisme de G SC . On peut introduire un espace tordu ˜
G SC sur G SC , que l’on note formellement G SC γ sc , de la façon suivante. La multiplication à gauche est évidente. Celle de droite est définie par
g sc γ sc x sc = g sc ad γ (x sc )γ sc . Enfin l’action galoisienne est σ(g sc γ sc ) = σ(g sc )γ sc .
L’application ˜
G SC → ˜
G définie par g sc γ sc → π(g sc )γ est un homomorphisme
d’espaces tordus en un sens évident. On peut compléter ˜
G SC en un K-espace
K ˜
G SC et on vérifie que l’application précédente s’étend en un homomorphisme
K ˜
G SC → K ˜
G (remarquons toutefois que l’application qui s’en déduit entre les
ensembles de composantes connexes de ces espaces n’est en général ni injective, ni
surjective). Il est clair que l’hypothèse sur K ˜
G est aussi vérifiée pour K ˜
G SC : G SC
et les autres groupes de K ˜
G SC n’ont pas d’autres groupes de Levi qu’eux-mêmes.
L’ensemble Δ min ne change pas puisque n’interviennent dans sa définition que les
groupes ˆ
G SC et ˆ
G AD qui n’ont pas changé. Si on suppose démontrée l’assertion
pour K ˜
G SC , on conclut Δ min = Δ, ce qui est la même assertion que pour K ˜
G.
On suppose désormais que G est simplement connexe. On conserve toutefois
la notation G SC quand elle est plus suggestive. On fixe une composante ˜
G de K ˜
G
et un élément γ ∈ ˜
G(R) fortement régulier. On choisit une paire de Borel épinglée
E de G = G SC dont le tore sous-jacent T = T sc est conservé par ad γ . On utilise
cette paire de Borel épinglée dans les constructions du paragraphe précédent. Le
tore est défini sur R pour l’action naturelle comme pour l’action quasi-déployée. Il
en résulte que u
∗ (σ) normalise T sc pour tout σ ∈ Γ R . Nécessairement, son image
w(σ) dans le groupe de Weyl W est invariante par θ
∗ . L’hypothèse que G n’a pas
d’espace de Levi propre entraîne que T = T sc est elliptique. En notant σ l’unique
élément non trivial de Γ R , w(σ) ◦ σ G ∗ agit donc par −1 sur X ∗ (T sc ). Il en résulte
que w(σ) envoie toute racine positive sur une racine négative. C’est donc l’élément