68
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
de K ˜
G et un sous-espace parabolique ˜
P de ˜
G correspondant à ˆ
P . Les considérations de 3.1 s’appliquent à cette composante. En particulier, tout sous-groupe
parabolique ˆ
P
contenant ˆ
P et invariant par ˆ
θ et par l’action galoisienne correspond à un sous-espace parabolique ˜
P
de ˜
G contenant ˜
P . Dorénavant, on note ˆ
P
le sous-groupe «minimal» défini ci-dessus.
Montrons que l’on peut se ramener au cas où K ˜
G n’a pas d’autre espace de
Levi que lui-même. En effet, supposons qu’il existe un espace parabolique propre
K ˜
Q, de Levi K ˜
L. Il correspond à K ˜
L un sous-ensemble Δ
L de Δ, d’où un sousensemble ˆ
Δ
L de ˆ
Δ. Remplaçant dans les constructions K ˜
G par K ˜
L, on définit
un sous-ensemble ˆ
Δ
L
min de ˆ
Δ
L . Si on suppose l’assertion prouvée pour K ˜
L, il
correspond à ce sous-ensemble ˆ
Δ
L
min un sous-espace parabolique de K ˜
L, d’où aussi
un sous-espace parabolique de K ˜
G. Pour obtenir l’assertion cherchée pour ˜
G, il
suffit de prouver l’égalité
(1) Δ min = Δ
L
min .
Par le sens déjà prouvé du lemme, on a en tout cas Δ min ⊂ Δ
L . En affectant
des exposants L aux termes construits à l’aide de K ˜
L, les définitions nous ramènent
à prouver l’égalité
(2) χ K ˜
G (
Γ R
α ) = χ K ˜
L (
L,Γ R
α
) pour tout α ∈ Δ
L .
Fixons une composante ˜
L de K ˜
L, qui est incluse dans une composante ˜
G de
K ˜
G. On utilise ces composantes pour effectuer les constructions du paragraphe
précédent, en les affectant d’exposants G ou L. On suppose que ˜
L est standard
pour la paire de Borel épinglée E et on prend pour paire de Borel épinglée E
L la
restriction de E. On peut alors supposer que u
∗ (σ) est le produit d’un élément
de Z(L sc ) et de l’image de u
∗L (σ) ∈ L
∗
SC dans G
∗
SC . Alors u
∗ est une cochaîne
à valeurs dans L sc , qui définit un élément de H
1 (Γ R ; L ad ) que l’on note v
∗ . On a
des applications naturelles
H
1 (Γ R ; G AD )
H
1 (Γ R ; L ad )
2 2
f
f
f
f
f
f
, ,
X
X
X
X
X
H
1 (Γ R ; L AD ) .
L’élément v
∗ s’envoie sur u
∗
ad par la flèche du haut et sur u
∗L
ad par celle du bas.
D’après [46] théorème 1.2, v
∗ définit un caractère χ de Z( ˆ
L sc )
Γ R /Z( ˆ
L sc )
Γ R ,0 . On
a un diagramme dual
Z( ˆ
G SC )
Γ R
, ,
Y
Y
Y
Y
Y
Z( ˆ
L sc )
Γ R /Z( ˆ
L sc )
Γ R ,0 .
Z( ˆ
L SC )
Γ R
2 2
e
e
e
e
e
e
e
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
de K ˜
G et un sous-espace parabolique ˜
P de ˜
G correspondant à ˆ
P . Les considérations de 3.1 s’appliquent à cette composante. En particulier, tout sous-groupe
parabolique ˆ
P
contenant ˆ
P et invariant par ˆ
θ et par l’action galoisienne correspond à un sous-espace parabolique ˜
P
de ˜
G contenant ˜
P . Dorénavant, on note ˆ
P
le sous-groupe «minimal» défini ci-dessus.
Montrons que l’on peut se ramener au cas où K ˜
G n’a pas d’autre espace de
Levi que lui-même. En effet, supposons qu’il existe un espace parabolique propre
K ˜
Q, de Levi K ˜
L. Il correspond à K ˜
L un sous-ensemble Δ
L de Δ, d’où un sousensemble ˆ
Δ
L de ˆ
Δ. Remplaçant dans les constructions K ˜
G par K ˜
L, on définit
un sous-ensemble ˆ
Δ
L
min de ˆ
Δ
L . Si on suppose l’assertion prouvée pour K ˜
L, il
correspond à ce sous-ensemble ˆ
Δ
L
min un sous-espace parabolique de K ˜
L, d’où aussi
un sous-espace parabolique de K ˜
G. Pour obtenir l’assertion cherchée pour ˜
G, il
suffit de prouver l’égalité
(1) Δ min = Δ
L
min .
Par le sens déjà prouvé du lemme, on a en tout cas Δ min ⊂ Δ
L . En affectant
des exposants L aux termes construits à l’aide de K ˜
L, les définitions nous ramènent
à prouver l’égalité
(2) χ K ˜
G (
Γ R
α ) = χ K ˜
L (
L,Γ R
α
) pour tout α ∈ Δ
L .
Fixons une composante ˜
L de K ˜
L, qui est incluse dans une composante ˜
G de
K ˜
G. On utilise ces composantes pour effectuer les constructions du paragraphe
précédent, en les affectant d’exposants G ou L. On suppose que ˜
L est standard
pour la paire de Borel épinglée E et on prend pour paire de Borel épinglée E
L la
restriction de E. On peut alors supposer que u
∗ (σ) est le produit d’un élément
de Z(L sc ) et de l’image de u
∗L (σ) ∈ L
∗
SC dans G
∗
SC . Alors u
∗ est une cochaîne
à valeurs dans L sc , qui définit un élément de H
1 (Γ R ; L ad ) que l’on note v
∗ . On a
des applications naturelles
H
1 (Γ R ; G AD )
H
1 (Γ R ; L ad )
2 2
f
f
f
f
f
f
, ,
X
X
X
X
X
H
1 (Γ R ; L AD ) .
L’élément v
∗ s’envoie sur u
∗
ad par la flèche du haut et sur u
∗L
ad par celle du bas.
D’après [46] théorème 1.2, v
∗ définit un caractère χ de Z( ˆ
L sc )
Γ R /Z( ˆ
L sc )
Γ R ,0 . On
a un diagramme dual
Z( ˆ
G SC )
Γ R
, ,
Y
Y
Y
Y
Y
Z( ˆ
L sc )
Γ R /Z( ˆ
L sc )
Γ R ,0 .
Z( ˆ
L SC )
Γ R
2 2
e
e
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e
e
e
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