I.3. Levi et image du transfert
67
Il résulte de ce lemme que
(3) parmi les classes de conjugaison par KG(R) de paires paraboliques de KG,
il y a une unique classe minimale.
Une propriété équivalente est qu’il y a au moins un p ∈ Π tel que G p soit
«plus quasi-déployé» que les autres composantes.
On doit définir correctement les espaces L(K ˜
M ), P(K ˜
M ) et F (K ˜
M ) pour
un K-espace de Levi K ˜
M . Si l’on définit L(K ˜
L) comme l’ensemble des K-espaces
de Levi de K ˜
G contenant K ˜
M , il y en a beaucoup trop. Pour cela, on fixe pour
tout p ∈ Π une paire parabolique minimale (P p,0 , M p,0 ), qui donne naissance à
une paire d’espaces tordus (KP p,0 , KM p,0 ). Le résultat précédent entraîne qu’il
existe un unique sous-ensemble non vide Π
M0 de Π vérifiant les deux conditions
suivantes :
– la famille K ˜
M 0 = ( ˜
M p,0 ) p∈Π M 0 est un K-espace de Levi de K ˜
G ;
– pour tous p ∈ Π, p
∈ Π
M0 , il existe x p ,p ∈ G p tel que
ad x p ,p ◦ ˜
φ p ,p ( ˜
P p,0 , ˜
M p,0 ) contienne ( ˜
P p ,0 , ˜
M p ,0 ).
On fixe de tels éléments x p ,p . La construction suivante ne dépendra pas de
leur choix. Il est facile de montrer que, pour tout K-espace de Levi K ˜
L = ( ˜
L p ) p∈Π L
de K ˜
G, l’ensemble d’indices Π
L contient Π
M0 . On note L(K ˜
M 0 ) l’ensemble des
K-espaces de Levi K ˜
L = ( ˜
L p ) p∈Π L de K ˜
G vérifiant les deux conditions suivantes :
– ˜
L p ⊃ ˜
M p,0 pour tout p ∈ Π
L ;
– ad x p ,p ◦ ˜
φ p ,p ( ˜
L p ) = ˜
L p pour tous p ∈ Π
L , p
∈ Π
M0 .
Pour K ˜
M = ( ˜
M p ) p∈Π M ∈ L(K ˜
M 0 ), on note L(K ˜
M ) l’ensemble des K ˜
L =
( ˜
L p ) p∈Π L ∈ L(K ˜
M 0 ) tels que Π
M
⊂ Π
L et ˜
M p ⊂ ˜
L p pour tout p ∈ Π
M . On définit
de façon similaire les ensembles P(K ˜
M ) et F (K ˜
M ).
Les considérations des quatre paragraphes précédents s’adaptent aux objets
définis ci-dessus. Du côté dual, il faut bien sûr prendre pour paire ( ˆ
P 0 , ˆ
M 0 ) une
paire qui correspond à (KP 0 , KM 0 ).
I.3.6 Preuve du lemme 3.5
La nécessité de la condition résulte du lemme d’Arthur. Nos K-groupes peuvent se
compléter en K-groupes au sens d’Arthur. Si un sous-groupe parabolique ˆ
P = ˆ
M ˆ
U
(standard, invariant par ˆ
θ et par l’action galoisienne) correspond à une classe de
conjugaison de sous-K-espaces paraboliques de K ˜
G, il correspond a fortiori à une
classe de conjugaison de sous-K-groupes paraboliques de ce K-groupe étendu,
donc vérifie l’inclusion ˆ
Δ
ˆ
M ⊃ ˆ
Δ min .
Pour la réciproque, il suffit de traiter l’unique sous-groupe parabolique ˆ
P =
ˆ
M ˆ
U tel que ˆ
Δ
ˆ
M = ˆ
Δ min . En effet, si celui-ci correspond bien à une classe de conjugaison de sous-K-espaces paraboliques de K ˜
G, on peut fixer une composante ˜
G
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Il résulte de ce lemme que
(3) parmi les classes de conjugaison par KG(R) de paires paraboliques de KG,
il y a une unique classe minimale.
Une propriété équivalente est qu’il y a au moins un p ∈ Π tel que G p soit
«plus quasi-déployé» que les autres composantes.
On doit définir correctement les espaces L(K ˜
M ), P(K ˜
M ) et F (K ˜
M ) pour
un K-espace de Levi K ˜
M . Si l’on définit L(K ˜
L) comme l’ensemble des K-espaces
de Levi de K ˜
G contenant K ˜
M , il y en a beaucoup trop. Pour cela, on fixe pour
tout p ∈ Π une paire parabolique minimale (P p,0 , M p,0 ), qui donne naissance à
une paire d’espaces tordus (KP p,0 , KM p,0 ). Le résultat précédent entraîne qu’il
existe un unique sous-ensemble non vide Π
M0 de Π vérifiant les deux conditions
suivantes :
– la famille K ˜
M 0 = ( ˜
M p,0 ) p∈Π M 0 est un K-espace de Levi de K ˜
G ;
– pour tous p ∈ Π, p
∈ Π
M0 , il existe x p ,p ∈ G p tel que
ad x p ,p ◦ ˜
φ p ,p ( ˜
P p,0 , ˜
M p,0 ) contienne ( ˜
P p ,0 , ˜
M p ,0 ).
On fixe de tels éléments x p ,p . La construction suivante ne dépendra pas de
leur choix. Il est facile de montrer que, pour tout K-espace de Levi K ˜
L = ( ˜
L p ) p∈Π L
de K ˜
G, l’ensemble d’indices Π
L contient Π
M0 . On note L(K ˜
M 0 ) l’ensemble des
K-espaces de Levi K ˜
L = ( ˜
L p ) p∈Π L de K ˜
G vérifiant les deux conditions suivantes :
– ˜
L p ⊃ ˜
M p,0 pour tout p ∈ Π
L ;
– ad x p ,p ◦ ˜
φ p ,p ( ˜
L p ) = ˜
L p pour tous p ∈ Π
L , p
∈ Π
M0 .
Pour K ˜
M = ( ˜
M p ) p∈Π M ∈ L(K ˜
M 0 ), on note L(K ˜
M ) l’ensemble des K ˜
L =
( ˜
L p ) p∈Π L ∈ L(K ˜
M 0 ) tels que Π
M
⊂ Π
L et ˜
M p ⊂ ˜
L p pour tout p ∈ Π
M . On définit
de façon similaire les ensembles P(K ˜
M ) et F (K ˜
M ).
Les considérations des quatre paragraphes précédents s’adaptent aux objets
définis ci-dessus. Du côté dual, il faut bien sûr prendre pour paire ( ˆ
P 0 , ˆ
M 0 ) une
paire qui correspond à (KP 0 , KM 0 ).
I.3.6 Preuve du lemme 3.5
La nécessité de la condition résulte du lemme d’Arthur. Nos K-groupes peuvent se
compléter en K-groupes au sens d’Arthur. Si un sous-groupe parabolique ˆ
P = ˆ
M ˆ
U
(standard, invariant par ˆ
θ et par l’action galoisienne) correspond à une classe de
conjugaison de sous-K-espaces paraboliques de K ˜
G, il correspond a fortiori à une
classe de conjugaison de sous-K-groupes paraboliques de ce K-groupe étendu,
donc vérifie l’inclusion ˆ
Δ
ˆ
M ⊃ ˆ
Δ min .
Pour la réciproque, il suffit de traiter l’unique sous-groupe parabolique ˆ
P =
ˆ
M ˆ
U tel que ˆ
Δ
ˆ
M = ˆ
Δ min . En effet, si celui-ci correspond bien à une classe de conjugaison de sous-K-espaces paraboliques de K ˜
G, on peut fixer une composante ˜
G