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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Quand on change de choix, on voit que les deux groupes G
∗ construits s’identifient
naturellement et que le caractère χ K ˜
G obtenu est le même. C’est facile à voir
pourvu que l’on conserve la même composante connexe ˜
G. Considérons une autre
composante ˜
G
. Par définition, il y a un isomorphisme φ : G
→ G et un cocycle
∇ ∈ H
1 (Γ R ; G SC ) tel que φ ◦ σ(φ)
−1 = ad ∇(σ) pour tout σ ∈ Γ R . On prend
pour paire de Borel épingée E
= φ
−1 (E). On vérifie que l’on peut choisir u
(σ) =
φ
−1 (u(σ)∇(σ)). Il est clair que φ définit un isomorphisme défini sur R de G
∗
sur G
∗ . Via cet isomorphisme, u
∗ (σ) s’identifie à ∇(σ)u
∗ (σ). Le calcul montre
que la condition que ∇ est un cocycle (pour l’action naturelle sur G) équivaut
à ce que d(∇u
∗ ) = d(u
∗ ), où d est la différentielle sur G
∗ . Les images de u
∗ et
∇u
∗ dans H
2 (Γ R ; Z(G
∗
SC )) sont donc les mêmes et on récupère ainsi le même
caractère χ K ˜
G . Remarquons que, par hypothèse, ˜
G(R) est non vide. On peut
donc fixer γ ∈ ˜
G(R). Ecrivons γ = ge, avec g ∈ G et e ∈ Z( ˜
G, E). Pour tout
σ ∈ Γ R , on a encore ad u(σ) ◦σ G (e) ∈ Z( ˜
G, E), donc il existe z(σ) ∈ Z(G) tel que
ad u(σ) ◦σ G (e) = z(σ)
−1 e. La condition γ ∈ ˜
G(R) équivaut à ce que, pour tout
σ ∈ Γ R , on ait l’égalité σ G (γ) = γ. Or on a les équivalences suivantes
σ G (γ) = γ ⇐⇒ σ G (g)σ G (e) = ge ⇐⇒ g
−1 σ G (g) ad u(σ) −1 (z(σ)
−1 e) = e
⇐⇒ g
−1 σ G (g)u(σ)
−1 θ
∗ (u(σ))z(σ)
−1 e = e
⇐⇒ g
−1 σ G (g)u(σ)
−1 θ
∗ (u(σ))z(σ)
−1 = 1
⇐⇒ g
−1 u
∗ (σ)σ G ∗ (g) = z(σ)θ
∗ (u
∗ (σ)).
Il en résulte que la classe du cocycle u
∗
ad est invariante par θ
∗ , donc χ K ˜
G est
invariant par ˆ
θ.
Pour x ∗ ∈ X ∗ ( ˆ
T ad ), choisissons un entier N ≥ 1 tel que N x ∗ ∈ X ∗ ( ˆ
T sc ).
Alors l’élément N x ∗ (e
2πi/N ) appartient à Z( ˆ
G SC ) et ne dépend pas du choix de
N . L’application x ∗ → N x ∗ (e
2πi/N ) se quotient en un isomorphisme
X ∗ ( ˆ
T ad )/X ∗ ( ˆ
T sc ) Z( ˆ
G SC ).
A tout élément α ∈ Δ est naturellement associé un copoids α ∈ X ∗ ( ˆ
T ad ).
On note
Γ R
α la somme des éléments α pour les α
dans l’orbite de α sous l’action
de Γ R (puisque ce groupe a deux éléments, les orbites ont au plus deux éléments).
L’élément
Γ R
α s’envoie sur un élément de Z( ˆ
G SC )
Γ R . On note Δ min l’ensemble des
α ∈ Δ tels que χ K ˜
G (
Γ R
α ) = 1. On note ˆ
Δ min l’ensemble des ˆ
α pour α ∈ Δ min .
Cet ensemble est stable par l’action galoisienne et aussi par ˆ
θ puisque χ ˜
KG l’est.
Lemme. Soit ˆ
P = ˆ
M ˆ
U un sous-groupe parabolique standard de ˆ
G stable par ˆ
θ
et par l’action galoisienne. Alors ˆ
P correspond à une classe de conjugaison de
sous-K-espaces paraboliques de K ˜
G si et seulement si ˆ
Δ
ˆ
M contient ˆ
Δ min .
C’est exactement l’énoncé du lemme 2.1 de [16]. Nous le prouverons dans le
paragraphe suivant.
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
Quand on change de choix, on voit que les deux groupes G
∗ construits s’identifient
naturellement et que le caractère χ K ˜
G obtenu est le même. C’est facile à voir
pourvu que l’on conserve la même composante connexe ˜
G. Considérons une autre
composante ˜
G
. Par définition, il y a un isomorphisme φ : G
→ G et un cocycle
∇ ∈ H
1 (Γ R ; G SC ) tel que φ ◦ σ(φ)
−1 = ad ∇(σ) pour tout σ ∈ Γ R . On prend
pour paire de Borel épingée E
= φ
−1 (E). On vérifie que l’on peut choisir u
(σ) =
φ
−1 (u(σ)∇(σ)). Il est clair que φ définit un isomorphisme défini sur R de G
∗
sur G
∗ . Via cet isomorphisme, u
∗ (σ) s’identifie à ∇(σ)u
∗ (σ). Le calcul montre
que la condition que ∇ est un cocycle (pour l’action naturelle sur G) équivaut
à ce que d(∇u
∗ ) = d(u
∗ ), où d est la différentielle sur G
∗ . Les images de u
∗ et
∇u
∗ dans H
2 (Γ R ; Z(G
∗
SC )) sont donc les mêmes et on récupère ainsi le même
caractère χ K ˜
G . Remarquons que, par hypothèse, ˜
G(R) est non vide. On peut
donc fixer γ ∈ ˜
G(R). Ecrivons γ = ge, avec g ∈ G et e ∈ Z( ˜
G, E). Pour tout
σ ∈ Γ R , on a encore ad u(σ) ◦σ G (e) ∈ Z( ˜
G, E), donc il existe z(σ) ∈ Z(G) tel que
ad u(σ) ◦σ G (e) = z(σ)
−1 e. La condition γ ∈ ˜
G(R) équivaut à ce que, pour tout
σ ∈ Γ R , on ait l’égalité σ G (γ) = γ. Or on a les équivalences suivantes
σ G (γ) = γ ⇐⇒ σ G (g)σ G (e) = ge ⇐⇒ g
−1 σ G (g) ad u(σ) −1 (z(σ)
−1 e) = e
⇐⇒ g
−1 σ G (g)u(σ)
−1 θ
∗ (u(σ))z(σ)
−1 e = e
⇐⇒ g
−1 σ G (g)u(σ)
−1 θ
∗ (u(σ))z(σ)
−1 = 1
⇐⇒ g
−1 u
∗ (σ)σ G ∗ (g) = z(σ)θ
∗ (u
∗ (σ)).
Il en résulte que la classe du cocycle u
∗
ad est invariante par θ
∗ , donc χ K ˜
G est
invariant par ˆ
θ.
Pour x ∗ ∈ X ∗ ( ˆ
T ad ), choisissons un entier N ≥ 1 tel que N x ∗ ∈ X ∗ ( ˆ
T sc ).
Alors l’élément N x ∗ (e
2πi/N ) appartient à Z( ˆ
G SC ) et ne dépend pas du choix de
N . L’application x ∗ → N x ∗ (e
2πi/N ) se quotient en un isomorphisme
X ∗ ( ˆ
T ad )/X ∗ ( ˆ
T sc ) Z( ˆ
G SC ).
A tout élément α ∈ Δ est naturellement associé un copoids α ∈ X ∗ ( ˆ
T ad ).
On note
Γ R
α la somme des éléments α pour les α
dans l’orbite de α sous l’action
de Γ R (puisque ce groupe a deux éléments, les orbites ont au plus deux éléments).
L’élément
Γ R
α s’envoie sur un élément de Z( ˆ
G SC )
Γ R . On note Δ min l’ensemble des
α ∈ Δ tels que χ K ˜
G (
Γ R
α ) = 1. On note ˆ
Δ min l’ensemble des ˆ
α pour α ∈ Δ min .
Cet ensemble est stable par l’action galoisienne et aussi par ˆ
θ puisque χ ˜
KG l’est.
Lemme. Soit ˆ
P = ˆ
M ˆ
U un sous-groupe parabolique standard de ˆ
G stable par ˆ
θ
et par l’action galoisienne. Alors ˆ
P correspond à une classe de conjugaison de
sous-K-espaces paraboliques de K ˜
G si et seulement si ˆ
Δ
ˆ
M contient ˆ
Δ min .
C’est exactement l’énoncé du lemme 2.1 de [16]. Nous le prouverons dans le
paragraphe suivant.