I.3. Levi et image du transfert
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(P
p , M
p ) de (P, M ) par l’application ad y ◦φ p0,p est une paire de Borel de G p qui
est définie sur R. Cette paire est conjuguée par un élément de G p (C) à l’image réciproque de (P, M ) par l’application φ p0,p . Il en résulte que p ∈ Π
et que les paires
de Borel (P
p , M
p ) et (P p , M p ) sont conjuguées par un élément de G p (C). Étant
toutes deux définies sur R, elles sont conjuguées par un élément de G p (R). On
peut donc fixer un élément g p ∈ G p (R) tel que ad y ◦φ p0,p ◦ ad gp (P p , M p ) = (P, M ).
En posant g = φ p0,p (g p ), cela équivaut à ad yg ◦φ p0,p (P p , M p ) = (P, M ). Cela entraîne que l’élément m = ygx
−1
p appartient à M . Parce que g p ∈ G p (R), on vérifie
que la multiplication de y par g ne modifie pas l’égalité de cocycles ci-dessus,
c’est-à-dire que l’on a ∇
M (σ) = yg∇ p0,p (σ)σ(yg)
−1 pour tout σ ∈ Γ R . Ou encore
∇
M (σ) = m∇
M
p (σ)σ(m)
−1 . Donc ∇
M a même classe dans H
1 (Γ R ; M ) que ∇
M
p .
Cela achève la preuve de (1).
On doit décrire comme en 3.1 la correspondance entre classes de conjugaison
de paires paraboliques de K ˜
G et classes de conjugaison de paires paraboliques de
ˆ
G. Dans le cas non tordu, cette correspondance est décrite par le lemme 2.1 de
[16]. A priori, celui-ci ne s’applique pas dans le cas général car, comme on l’a dit
en 1.11, notre notion de K-groupes est plus restrictive que celle d’Arthur. Nous
allons prouver que ce lemme reste malgré tout valable. Fixons une paire de Borel
épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E ˆ
α ) ˆ
α∈ ˆ
Δ ) de ˆ
G. On suppose qu’elle est stable par l’action
galoisienne et on fixe un élément ˆ
θ relatif à cette paire. On note σ → σ G ∗ l’action
galoisienne. Les sous-groupes paraboliques standard ˆ
P = ˆ
M ˆ
U qui sont stables par
ˆ
θ et par l’action galoisienne sont en bijection avec les sous-ensembles ˆ
Δ
ˆ
M de ˆ
Δ
qui vérifient les mêmes propriétés de stabilité ( ˆ
Δ
ˆ
M est l’ensemble des racines de
ˆ
T dans ˆ
M ).
D’autre part, fixons une composante de notre K-espace K ˜
G, que l’on note
simplement ˜
G. Fixons une paire de Borel épinglée E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) de G et
fixons une cochaîne σ → u(σ) de Γ R dans G SC de sorte que ad u(σ) ◦σ G (E) = E
(où σ → σ G est l’action naturelle). On définit l’action quasi-déployée σ → σ G ∗ =
ad u(σ) ◦σ G de Γ R sur G et, pour simplifier, on note G
∗ le groupe G muni de cette
action. On note θ
∗ l’automorphisme ad e pour un élément e ∈ Z( ˜
G, E) quelconque.
Cet automorphisme préserve E et l’action galoisienne quasi-déployée. La bijection
naturelle α → ˆ
α de Δ sur ˆ
Δ est équivariante pour les actions galoisiennes et
échange l’action de θ
∗ avec celle de ˆ
θ. Posons u
∗ (σ) = u(σ)
−1 et notons u
∗
ad (σ)
l’image de u
∗ (σ) dans G
∗
AD . On vérifie que u
∗
ad est un cocycle, qui définit un
élément de H
1 (Γ R ; G
∗
AD ) noté encore u
∗
ad . On a une application naturelle
H
1 (Γ R ; G
∗
AD ) → H
2 (Γ R ; Z(G
∗
SC )).
Ce dernier groupe s’identifie facilement au groupe des caractères de Z( ˆ
G SC )
Γ R qui
sont triviaux sur l’image de la norme
Z( ˆ
G SC ) → Z( ˆ
G SC )
ΓR .
On renvoie pour cela à [46], théorème 1.2. Ainsi, u
∗
ad définit un caractère χ K ˜
G de
Z( ˆ
G SC )
Γ R . On a fait divers choix, qui affectent même notre construction de G
∗ .
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(P
p , M
p ) de (P, M ) par l’application ad y ◦φ p0,p est une paire de Borel de G p qui
est définie sur R. Cette paire est conjuguée par un élément de G p (C) à l’image réciproque de (P, M ) par l’application φ p0,p . Il en résulte que p ∈ Π
et que les paires
de Borel (P
p , M
p ) et (P p , M p ) sont conjuguées par un élément de G p (C). Étant
toutes deux définies sur R, elles sont conjuguées par un élément de G p (R). On
peut donc fixer un élément g p ∈ G p (R) tel que ad y ◦φ p0,p ◦ ad gp (P p , M p ) = (P, M ).
En posant g = φ p0,p (g p ), cela équivaut à ad yg ◦φ p0,p (P p , M p ) = (P, M ). Cela entraîne que l’élément m = ygx
−1
p appartient à M . Parce que g p ∈ G p (R), on vérifie
que la multiplication de y par g ne modifie pas l’égalité de cocycles ci-dessus,
c’est-à-dire que l’on a ∇
M (σ) = yg∇ p0,p (σ)σ(yg)
−1 pour tout σ ∈ Γ R . Ou encore
∇
M (σ) = m∇
M
p (σ)σ(m)
−1 . Donc ∇
M a même classe dans H
1 (Γ R ; M ) que ∇
M
p .
Cela achève la preuve de (1).
On doit décrire comme en 3.1 la correspondance entre classes de conjugaison
de paires paraboliques de K ˜
G et classes de conjugaison de paires paraboliques de
ˆ
G. Dans le cas non tordu, cette correspondance est décrite par le lemme 2.1 de
[16]. A priori, celui-ci ne s’applique pas dans le cas général car, comme on l’a dit
en 1.11, notre notion de K-groupes est plus restrictive que celle d’Arthur. Nous
allons prouver que ce lemme reste malgré tout valable. Fixons une paire de Borel
épinglée ˆ
E = ( ˆ
B, ˆ
T , ( ˆ
E ˆ
α ) ˆ
α∈ ˆ
Δ ) de ˆ
G. On suppose qu’elle est stable par l’action
galoisienne et on fixe un élément ˆ
θ relatif à cette paire. On note σ → σ G ∗ l’action
galoisienne. Les sous-groupes paraboliques standard ˆ
P = ˆ
M ˆ
U qui sont stables par
ˆ
θ et par l’action galoisienne sont en bijection avec les sous-ensembles ˆ
Δ
ˆ
M de ˆ
Δ
qui vérifient les mêmes propriétés de stabilité ( ˆ
Δ
ˆ
M est l’ensemble des racines de
ˆ
T dans ˆ
M ).
D’autre part, fixons une composante de notre K-espace K ˜
G, que l’on note
simplement ˜
G. Fixons une paire de Borel épinglée E = (B, T, (E α ) α∈Δ ) de G et
fixons une cochaîne σ → u(σ) de Γ R dans G SC de sorte que ad u(σ) ◦σ G (E) = E
(où σ → σ G est l’action naturelle). On définit l’action quasi-déployée σ → σ G ∗ =
ad u(σ) ◦σ G de Γ R sur G et, pour simplifier, on note G
∗ le groupe G muni de cette
action. On note θ
∗ l’automorphisme ad e pour un élément e ∈ Z( ˜
G, E) quelconque.
Cet automorphisme préserve E et l’action galoisienne quasi-déployée. La bijection
naturelle α → ˆ
α de Δ sur ˆ
Δ est équivariante pour les actions galoisiennes et
échange l’action de θ
∗ avec celle de ˆ
θ. Posons u
∗ (σ) = u(σ)
−1 et notons u
∗
ad (σ)
l’image de u
∗ (σ) dans G
∗
AD . On vérifie que u
∗
ad est un cocycle, qui définit un
élément de H
1 (Γ R ; G
∗
AD ) noté encore u
∗
ad . On a une application naturelle
H
1 (Γ R ; G
∗
AD ) → H
2 (Γ R ; Z(G
∗
SC )).
Ce dernier groupe s’identifie facilement au groupe des caractères de Z( ˆ
G SC )
Γ R qui
sont triviaux sur l’image de la norme
Z( ˆ
G SC ) → Z( ˆ
G SC )
ΓR .
On renvoie pour cela à [46], théorème 1.2. Ainsi, u
∗
ad définit un caractère χ K ˜
G de
Z( ˆ
G SC )
Γ R . On a fait divers choix, qui affectent même notre construction de G
∗ .