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Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
– pour tout p ∈ Π
, (P p , M p ) est une paire parabolique (sur R) de G p ;
– pour p, p
∈ Π
, les classes de conjugaison de (P p , M p ) et (P p , M p ) se correspondent ;
– pour p ∈ Π − Π
, la classe de conjugaison de paires paraboliques de G p
correspondant à celles des (P p , M p ) pour p
∈ Π
ne contient aucun élément
défini sur R.
En particulier, si Π
= Π, une telle paire n’est pas une paire parabolique
sur C. On définit un Levi de KG comme une famille KM intervenant dans une
paire parabolique (KP, KM ). On définit de même les paires paraboliques et les
espaces de Levi de K ˜
G. On appellera plutôt ces derniers des K-espaces de Levi.
Si (K ˜
P , K ˜
M ) est une paire parabolique de K ˜
G, la paire sous-jacente (KP, KM )
est une paire parabolique de KG. On a
(1) tout espace de Levi K ˜
M s’identifie à un K-espace tordu sur le K-groupe
KM .
Preuve. On complète K ˜
M en une paire parabolique (K ˜
P , K ˜
M ). On fixe p 0 dans
l’ensemble d’indices Π
relatif à cette paire, on pose G = G p0 , M = M p0 etc. . . Pour
p ∈ Π
, on choisit x p ∈ G SC tel que ad xp ◦φ p0,p envoie (P p , M p ) sur (P, M ). On
note φ
M
p la restriction de ad xp ◦φ p0,p à M p et ˜
φ
M
p celle de ad xp ◦ ˜
φ p0,p à ˜
M p . Pour
σ ∈ Γ R , on pose ∇
M
p (σ) = x p ∇ p0,p (σ)σ(x p )
−1 . On vérifie que ∇
M
p est un cocycle,
à valeurs dans G SC . On a φ
M
p ◦ σ(φ
M
p )
−1 = ad ∇ M p (σ) , ˜
φ
M
p ◦ σ( ˜
φ
M
p )
−1 = ad ∇ M p (σ) .
Puisque φ
M
p ◦ σ(φ
M
p )
−1 préserve (P, M ), on en déduit ∇
M
p (σ) ∈ M sc . D’après le
théorème 1.2 de [46], l’image de l’application
(2)
H
1 (Γ R ; M SC ) → H
1 (Γ R ; M sc )
est le noyau d’une application H
1 (Γ R ; M sc ) → π 0 (Z( ˆ
M ad )
Γ R ). Or Z( ˆ
M ad )
Γ R est
connexe car Z( ˆ
M ad ) est un tore induit. Donc l’application (2) est surjective et,
quitte à modifier l’élément x p , on peut relever ∇
M
p en un cocycle ∇
MSC
p
à valeurs dans M SC . Pour prouver que K ˜
M est un K-espace tordu issu de ˜
M comme
en 1.11, il reste à prouver que la famille (∇
MSC
p
) p∈Π s’envoie bijectivement sur
π(H
1 (Γ R ; M SC )) ∩ H
1 (Γ R ; M )
θ (où θ est déterminé par ˜
M ). Puisque M est un
Levi de G, l’application H
1 (Γ R ; M ) → H
1 (Γ R ; G) est injective. Elle est équivariante pour l’action de θ. Il en résulte qu’un élément de H
1 (Γ R ; M ) est invariant
par θ si et seulement si son image dans H
1 (Γ R ; G) l’est. L’image de ∇
MSC
p
dans
H
1 (Γ R ; G) est égale à celle de ∇ p0,p , donc est invariante par θ. Donc l’image de
∇
MSC
p
dans H
1 (Γ R ; M ) est invariante par θ. De même, pour p, q ∈ Π
avec p = q,
les images de ∇
MSC
p
et ∇
MSC
q
dans cet ensemble sont distinctes car leurs images
dans H
1 (Γ R ; G) le sont. Soit enfin ∇
M : Γ R → M un cocycle dont la classe appartient à π(H
1 (Γ R , M SC ))∩H
1 (Γ R ; M )
θ . Son image ∇
G dans H
1 (Γ R ; G) appartient à
π(H
1 (Γ R , G SC )) ∩ H
1 (Γ R ; G)
θ . Il existe donc p ∈ Π tel que ∇
G soit cohomologue à
∇ p0,p . Fixons y ∈ G tel que ∇
M (σ) = y∇ p0,p (σ)σ(y)
−1 pour tout σ ∈ Γ R . Puisque
∇
M prend ses valeurs dans M , cette relation implique que l’image réciproque
Chapitre I. Endoscopie tordue sur un corps local
– pour tout p ∈ Π
, (P p , M p ) est une paire parabolique (sur R) de G p ;
– pour p, p
∈ Π
, les classes de conjugaison de (P p , M p ) et (P p , M p ) se correspondent ;
– pour p ∈ Π − Π
, la classe de conjugaison de paires paraboliques de G p
correspondant à celles des (P p , M p ) pour p
∈ Π
ne contient aucun élément
défini sur R.
En particulier, si Π
= Π, une telle paire n’est pas une paire parabolique
sur C. On définit un Levi de KG comme une famille KM intervenant dans une
paire parabolique (KP, KM ). On définit de même les paires paraboliques et les
espaces de Levi de K ˜
G. On appellera plutôt ces derniers des K-espaces de Levi.
Si (K ˜
P , K ˜
M ) est une paire parabolique de K ˜
G, la paire sous-jacente (KP, KM )
est une paire parabolique de KG. On a
(1) tout espace de Levi K ˜
M s’identifie à un K-espace tordu sur le K-groupe
KM .
Preuve. On complète K ˜
M en une paire parabolique (K ˜
P , K ˜
M ). On fixe p 0 dans
l’ensemble d’indices Π
relatif à cette paire, on pose G = G p0 , M = M p0 etc. . . Pour
p ∈ Π
, on choisit x p ∈ G SC tel que ad xp ◦φ p0,p envoie (P p , M p ) sur (P, M ). On
note φ
M
p la restriction de ad xp ◦φ p0,p à M p et ˜
φ
M
p celle de ad xp ◦ ˜
φ p0,p à ˜
M p . Pour
σ ∈ Γ R , on pose ∇
M
p (σ) = x p ∇ p0,p (σ)σ(x p )
−1 . On vérifie que ∇
M
p est un cocycle,
à valeurs dans G SC . On a φ
M
p ◦ σ(φ
M
p )
−1 = ad ∇ M p (σ) , ˜
φ
M
p ◦ σ( ˜
φ
M
p )
−1 = ad ∇ M p (σ) .
Puisque φ
M
p ◦ σ(φ
M
p )
−1 préserve (P, M ), on en déduit ∇
M
p (σ) ∈ M sc . D’après le
théorème 1.2 de [46], l’image de l’application
(2)
H
1 (Γ R ; M SC ) → H
1 (Γ R ; M sc )
est le noyau d’une application H
1 (Γ R ; M sc ) → π 0 (Z( ˆ
M ad )
Γ R ). Or Z( ˆ
M ad )
Γ R est
connexe car Z( ˆ
M ad ) est un tore induit. Donc l’application (2) est surjective et,
quitte à modifier l’élément x p , on peut relever ∇
M
p en un cocycle ∇
MSC
p
à valeurs dans M SC . Pour prouver que K ˜
M est un K-espace tordu issu de ˜
M comme
en 1.11, il reste à prouver que la famille (∇
MSC
p
) p∈Π s’envoie bijectivement sur
π(H
1 (Γ R ; M SC )) ∩ H
1 (Γ R ; M )
θ (où θ est déterminé par ˜
M ). Puisque M est un
Levi de G, l’application H
1 (Γ R ; M ) → H
1 (Γ R ; G) est injective. Elle est équivariante pour l’action de θ. Il en résulte qu’un élément de H
1 (Γ R ; M ) est invariant
par θ si et seulement si son image dans H
1 (Γ R ; G) l’est. L’image de ∇
MSC
p
dans
H
1 (Γ R ; G) est égale à celle de ∇ p0,p , donc est invariante par θ. Donc l’image de
∇
MSC
p
dans H
1 (Γ R ; M ) est invariante par θ. De même, pour p, q ∈ Π
avec p = q,
les images de ∇
MSC
p
et ∇
MSC
q
dans cet ensemble sont distinctes car leurs images
dans H
1 (Γ R ; G) le sont. Soit enfin ∇
M : Γ R → M un cocycle dont la classe appartient à π(H
1 (Γ R , M SC ))∩H
1 (Γ R ; M )
θ . Son image ∇
G dans H
1 (Γ R ; G) appartient à
π(H
1 (Γ R , G SC )) ∩ H
1 (Γ R ; G)
θ . Il existe donc p ∈ Π tel que ∇
G soit cohomologue à
∇ p0,p . Fixons y ∈ G tel que ∇
M (σ) = y∇ p0,p (σ)σ(y)
−1 pour tout σ ∈ Γ R . Puisque
∇
M prend ses valeurs dans M , cette relation implique que l’image réciproque